Giải bài tập 30 trang 100 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:

a) Do ABCD là hình thoi nên AB = DA = 2 cm, $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ => $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}$

Do đó tam giác ABD cân tại D => DA = DB.

Mà AB = DA => AB = DA = DB.

∆ABH = ∆DBK (g.c.g) => AH = DK. Do đó DH + DK = DH + AH = AD.

Vậy DH + DK không đổi.

b) Do ∆ABH = ∆DBK nên BH = BK.

Tam giác BHK có BH = BK và $\widehat{HBK}$ = 60° nên tam giác BHK là tam giác đều. 

=> HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất. Vậy H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Khi đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> AH = DH = $\frac{AD}{2}$ = 1 cm.

Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB² = AH² + BH² => BH² = AB² – AH² = 2² -1² = 3 

=> BH = $\sqrt{3}$ cm. 

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là $\sqrt{3}$ cm.