Giải bài tập 19 trang 95 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:

a) Ta có: $\widehat{APC}=\widehat{ABD}$ = 90° và $\widehat{APC},\widehat{ABD}$ nằm ở vị trí đồng vị nên CP // BD. 

Tương tự, ta chứng minh được BN // CD.

Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.

b*) Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH. Mà M thuộc BC. 

=> M là giao điểm của BC và DH.

Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 

=> M là trung điểm BC.

Khi đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c). => AB = AC.

Dễ thấy, nếu tam giác ABC có AB=  AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

Vậy tam giác ABC cân tại A thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

c) Xét tứ giác ABDC, ta có: 

$\widehat{BAC}+\widehat{DBA}+\widehat{ACD}+\widehat{CDB}$ = 360°. 

Mà $\widehat{DBA}=\widehat{ACD}$ = 90° => $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}$ = 180°.

Vậy góc A và góc D của tứ giác ABDC là hai góc bù nhau.

d) Do H là trung điểm của AM nên HM = $\frac{1}{2}$AM.

Ta có diện tích tam giác ABC bằng: $\frac{1}{2}$.AM.BC = HM.BC.

Ta chứng minh được ∆BCH = ∆CBD (c.c.c).

=> diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.

Do đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: 2 ($\frac{1}{2}$.HM.BC) = HM.BC.

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.