Giải Bài tập 15 trang 86 sgk Toán 8 tập 2 Chân trời

a) Xét tam giác vuông ABM và ACN có:

$\widehat{A}$ chung

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g.g) nên $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

Xét tam giác AMN và ABC ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

$\widehat{A}$ chung

Suy ra ΔAMN ᔕ ΔABC (c.g.c)

b) ΔAMN ᔕ ΔABC, AK là phân giác của $\widehat{BAC}$ suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AI}{AK}$

Xét tam giác AIM và AKB ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AK}$

$\widehat{IAM}=\widehat{IAN}$ (vì AK là phân giác $\widehat{BAC}$)

Suy ra ΔAIM ᔕ ΔAKB nên $\frac{IM}{KB}=\frac{AI}{AK}$ (1)

Xét tam giác AIN và AKC ta có:

$\frac{AN}{AC}=\frac{AI}{AK}$

$\widehat{IAM}=\widehat{IAN}$ (vì AK là phân giác $\widehat{BAC}$)

Suy ra ΔAIN ᔕ ΔAKC nên $\frac{IN}{KC}=\frac{AI}{AK}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{IM}{KB}=\frac{IN}{KC}$ hay $\frac{IM}{IN}=\frac{KB}{KC}$