Giải Bài tập 1 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời

a) Gọi O là tâm tam giác BCD. Do tứ diện ABCD đều nên $AO \perp (BCD)$

Nên góc giữa đường thẳng AB và (BCD) là $\widehat{ABO}$

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD. 

O là trọng tâm tam giác BCD nên $BO = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$cos\widehat{ABO} = \frac{BO}{AB} =\frac{\sqrt{3}}{3}$ nên $\widehat{ABO} = 54,7^{o}$

Suy ra góc giữa đường thẳng AB và (BCD} bằng $54,7^{o}$

b) Gọi M là trung điểm CD. 

BCED là hình bình hành nên ED = BC = a, CE = BD = a. Nên BCED là hình thoi

Ta có $BM\perp CD, EM \perp CD$

Mà $CD \perp AO$ nên $CD \perp (ABM)$. Suy ra $CD \perp AM$

$[A, CD, B] = \widehat{AMB}, [A, CD, E] =\widehat{AME}$

Ta có: $OM = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$AO = \sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$tan\widehat{AMO} = \frac{AO}{OM} = 2\sqrt{2}$.

Nên $\widehat{AMO}= 70,5^{o}, \widehat{AME} = 180^{o} - 70,5^{o} = 109,5^{o}$

Vậy $[A, CD, B] = 70,5^{o} , [A, CD, E] = 109,5^{o}$