1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

1. Định nghĩa

HĐ 1: Qua mỗi điểm M trong không gian, có duy nhất một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ. Đường thẳng đó và mặt phẳng (P) có 1 điểm chung. 

Định nghĩa: Cho mặt phẳng P và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng P. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng P sao cho MM' song song hoặc trùng với ℓ gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng P theo phương của đường thẳng ℓ hoặc nói gọn là theo phương ℓ.

• (P): mặt phẳng chiếu, phương ℓ: phương chiếu.
• Điểm M’: hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M qua phép chiếu song song.

Cho hình H. Tập hợp H' gồm hình chiếu song song của tấc cả các điểm thuộc H gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình H qua phép chiếu song song trên.

Ví dụ 1 (SGK -tr.115)

2. Tính chất

HĐ 2:

a) Quan sát Hình 78, ta thấy các điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’, C’.

b) Bóng nắng của thanh lan can là đường thẳng.

Kết luận:

• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
• Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Luyện tập 1

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’ // CC’ nên ACC’A’ là hình thang.

Do O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’ nên O’ là trung điểm của A’C’.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó O là trung điểm của AC.

Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang ACC’A’. Suy ra OO’ // AA’.

Vậy điểm O là ảnh của O’ qua phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương AA’.

HĐ 3: Quan sát Hình 79, ta thấy bóng của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.

Kết luận:

• Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ 2 (SGK -tr.116)

Ví dụ 3 (SGK -tr.117)

Luyện tập 2

Gọi A’, B’, B’, D’ lần lượt là hình chiếu song song của bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.

Hình chiếu của hình bình hành ABCD trên mặt phẳng (P) là tứ giác A’B’C’D’ sao cho ℓ // AA' // BB' // CC' // DD'.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC.

Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l thì A'B' // C'D' và A'D' // B'C'.

Vậy hình chiếu song song của hình bình hành ABCD trên mặt phẳng (P) là hình bình hành A'B'C'D'.  

Chú ý: Đối với hình chiếu song song của đường tròn, người ta chứng minh:

Hình chiếu song song của một đường tròn trên một mặt phẳng theo phương ℓ cho trước là một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng

2. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

1. Khái niệm

HĐ 4

Ảnh của khối rubik qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương ℓ là hình tạo bởi các đỉnh A,B,C,D,A',B',C',D'. 

Sao cho các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' là ảnh của các đỉnh của khối rubik.

Kết luận: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Chú ý: Muốn vẽ đúng hình biểu diễn của một hình không gian, ta phải áp dụng các tính chất của phép chiếu song song.

Ví dụ 4 (SGK -tr.118)

2. Hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản

Một số hình biểu diễn:

Chú ý:

1)

• Tam giác bất kì có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác (tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…)
• Hình bình hành có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý.
• Hình biểu diển của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A’B’C’D’ với A’B’ // C’D’ thỏa mãn $\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}$.
• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip, tâm của elip biểu diễn cho tâm đường tròn.

2) Phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên một đường thẳng); không giữ nguyên độ lớn góc trên hình H.