Bài 3.34. Trang 73 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn MP…

Đáp án:

a) AC cắt MP tại N là trung điểm của mỗi đường.

$\Rightarrow AMCP$ là hình bình hành.

b) Hình bình hành APCM là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{AMC} = 90^{\circ}$

Giả sử $\widehat{AMC} = 90^{\circ} \Rightarrow CM$ là đường cao ΔABC

CM đồng thời là đường trung tuyến  $\Rightarrow ΔABC$ cân tại C

Hình bình hành APCM là hình thoi $\Rightarrow AM = MC$

Giả sử AM = MC; M là trung điểm của $AB \Rightarrow AM = MB = 12 AB$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại C

Hình bình hành APCM là hình vuông $\Rightarrow APCM$ là hình thoi có 1 góc vuông.

APCM là hình thoi $ \Rightarrow ∆ABC$ vuông tại C ( chứng minh trên)

APCM là hình chữ nhật $ \Rightarrow ∆ABC$ cân tại C ( chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông cân tại C 

Bài 3.35. Trang 73 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật…

Đáp án:

EC là đường phân giác góc C; DE là đường phân giác góc D 

$\Rightarrow \widehat{ECD} = \widehat{BCD} :2; \widehat{EDC} = \widehat{ADC} : 2$

$\widehat{BCD} + \widehat{ADC} = 180^{\circ} \Rightarrow \widehat{ECD} + \widehat{EDC} = 90^{\circ}$

Xét Δ EDC có : $DEC = 180^{\circ} - (\widehat{ECD} + \widehat{EDC}) =  90^{\circ}$

Chứng minh tương tự ta được: $\widehat{BFC} = \widehat{AHD} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{EFG} = \widehat{EHG} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác EHGF có $\widehat{DEC} = \widehat{EFG} = \widehat{EHG} = 90^{\circ} \Rightarrow EHGF$ là hình chữ nhật.

Bài 3.36. Trang 73 sgk toán 8 tập 1

Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao?...

Đáp án: Khung tre có dạng hình bình hành khi bị xô lệch vì các cạnh đối vẫn bằng nhau.

Nẹp thêm một đường chéo vào khung thì khung không còn bị xô lệch vì bốn thanh của khung và thanh đường chéo tạo thành hai tam giác với cạnh có độ dài không đổi.

Bài 3.37. Trang 73 sgk toán 8 tập 1

Gọi Ou và Ov lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù xOy và x'Oy; A là một điểm khác O trên tia Ox….

Đáp án:

Ou và Ov lần lượt là hai tia phân giác của xOy và x'Oy

$\Rightarrow \widehat{yOu} = \widehat{xOy}  :2; \widehat{vOy} =  \widehat{ x'Oy} :2$

$\Rightarrow \widehat{yOu} + \widehat{vOy} = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BOC} = 90^{\circ}$ 

Xét tứ giác BACO có $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = \widehat{BOC} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow BACO$ là hình chữ nhật.

Bài 3.38. Trang 73 sgk toán 8 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M….

Đáp án:

Gọi H là giao điểm của AE với MN 

Xét ∆MAH và ∆MAD có:

Chung cạnh AM

$\widehat{MAH} = \widehat{MAD}$ 

$\Rightarrow ∆MAH = ∆MAD (ch – gn) \Rightarrow MH = MD; AH = AD$

Xét ∆ANB và ∆ANH có:

Chung cạnh AN

AB = AH (= AD)

$\Rightarrow ∆ANB = ∆ANH (ch – cgv) \Rightarrow NB = HN$

$\Rightarrow DM + BN = MH + HN = MN$