Slide bài giảng toán 7 chân trời bài tập cuối chương 8 (2 tiết)

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 8

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A.(Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆ BEC = ∆ CFB.

b) Chứng minh rằng ∆ AHF = ∆ AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Trả lời rút gọn:

a)∆ ABC cân tại A => = và AB = AC

=> =

BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC

=> ∆BEC và  ∆ CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.

+ Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:

BC chung

=

=> ∆ BEC = ∆ CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

b) Theo a:  ∆BEC =∆ CFB

=> EC = FB 

Có AF = AB - FB

     AE= AC - EC

mà AB = AC, EC = FB

=> AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

=> ∆ AFH và  ∆ AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.

+ Xét ∆ AFH vuông tại F và  ∆AEH vuông tại E  có: 

AH chung

AF = AE

=> ∆ AFH = ∆ AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

=> H là trực tâm của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC (1)

Có I là trung điểm của BC

=> AI là đường trung tuyến của ∆ ABC

Xét  ∆ ABI và  ∆ ACI  có: 

AB = AC

AI chung 

IB = IC (I là trung điểm của BC)

=> ∆ ABI =  ∆ ACI (c.c.c)

=> =

Có + = 180°

=> 2 = 180°

=> = 90°

=> AI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) => A, I, H thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆ MBC.

Trả lời rút gọn:

a) Có AH là đường cao của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH

=> ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ BHA và ∆ BHM cùng vuông tại H có :

BH chung

AH = HM

=> ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)

=> BA = BM 

=> ∆ABM cân tại B.

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM 

=> = hay =  

Xét ∆ABC và ∆MBC có :

  BC chung

=  

AB = BM

=> ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Chứng minh rằng  =

Trả lời rút gọn:

a)Ta có AH  là đường cao của ∆ ABC

=>  ∆ AHD và ∆ AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ AHD và ∆ AHC cùng vuông tại H có :

 AH chung

 HD = HC

=> ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

=> AC = AD

b)

+ ∆ABC vuông tại A nên  + = 90°

∆ABH vuông tại H nên + = 90°

=> =  

+ Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A

=>   =  

mà  =  

=>  =  

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Trả lời rút gọn:

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

  AB = BN 

  BE chung

∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

=  

BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

K là trực tâm tam giác ABN

NK ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có :

 BN = BA

  = (chứng minh trên)

 BF chung

∆FBN và ∆FBA (c.g.c)

mà ∆ FBA vuông tại A

∆ FBN vuông tại N

BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN

∆ BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

  BN = BA

  chung

∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

BG = BC

∆ BCG cân tại B.

       = ( 2 góc đồng vị )

Mà ∆MBC cân tại M nên  =   

=  

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có :

MI chung

= (chứng minh trên)

=> ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng :  

b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Trả lời rút gọn:

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

=> MB = MC, NB = NC

=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M

Xét ∆ MBN  và ∆ MCN có :

MB = MC

BN = NC

MN chung

=> ∆ MBN  = ∆ MCN ( c.c.c)

=> =

∆ AHC vuông góc tại H

=> + = 90°

hay + = 90° (1)

∆ MNC vuông góc tại N ( MN là đường trung trực của BC )

=>  + = 90°

mà  =

=> hay + = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có : =  

b) Kẻ MI ⊥ AH

         AH ⊥ BC

=> IM // BC

=>  =  ( 2 góc so le trong )

      =  ( 2 góc đồng vị )

Mà ∆MBC cân tại M nên  = 

=>  = 

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có :

MI chung

     = (chứng minh trên)

=> ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK.

Bài 6:Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.

a) Chứng minh rằng ∆ MFN = ∆ PFD.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng.

Trả lời rút gọn:

a) ME, NF là trung tuyến của ∆MNP

E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM

Xét ∆ MFN và  ∆ PFD có

FN = FD

=  (2 góc đối đỉnh)

FM = FP (F là trung điểm của PM)

 ∆MFN = ∆PFD (c.g.c).

b)

+ Trong ∆MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G.

G là trọng tâm của ∆MNP

FG = FN

mà FG = FH ( F là trung điểm của HG); FN = FD

FH = FD => DH = FD

+ Xét tam giác PDM có:  DH = FD

mà FD là đường trung tuyến của ∆PDM

=> H là trọng tâm của ∆PDM

=> MH là đường trung tuyến của ∆PDM (1)

K là trung điểm của PD

=> MK là đường trung tuyến của ∆PDM (2)

Từ (1) và (2)

M, H, K thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có  AB = 1/2 AC, AD là tia phân giác của (D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK.

Trả lời rút gọn:

a) Xét ∆ABD và  ∆AED có

AD chung

=    ( AD là đường phân giác)

AB = AE 

=> ∆ ABD =  ∆ AED (c.g.c)

=> BD = ED

b) + Chứng minh tam giác DCK cân.

Theo a: ∆ ABD =  ∆ AED nên =   

Ta có:

+ = 180°

+ = 180°

Mà =   

=

Xét ∆CDE và  ∆KDB có:

=    ( 2 góc đối đỉnh)

DE = DB (chứng minh câu a)

= (chứng minh trên)

 ∆CDE =  ∆KDB (g.c.g)

DC = DK

∆DCK cân tại D

+ Chứng minh B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB

mà E là trung điểm của AC nên EC = AE = AC

mà AB = AC

KB = AB

mà A, B, K thẳng hàng

B là trung điểm của AK

c) B là trung điểm của AK

AB = AK

Xét ∆BHM và  ∆BHE cùng vuông tại H có: 

BH chung

HM = HE

=> ∆BHM =  ∆BHE (hai cạnh góc vuông)

=> MB = BE

=> ∆MBE cân tại B

b) Xét ∆CAM vuông tại A nên + = 90°

Xét ∆BHE vuông tại H nên + = 90°

mà = (∆MBE cân tại B)

       =  (2 góc đối đỉnh )

=> =

c)
+ Theo b có: ∆BHM = ∆BHE nên =

Có + =

=> 2 =  

+ CM là đường phân giác của

=> = = 

Hay 2 =

+ Xét ∆ABC vuông tại A

=>  + = 90°

=> 2 + = 90°

=> 2 + = 90°

=> + = 90°.

=>  = 90°

=> EB ⊥ BC.

Bài 10: Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Trả lời rút gọn:

+ Ta có đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a tại J

=> MJ ⊥ IK

=> MJ là đường cao của ∆ IMK

+ IN ⊥ MK => IN là đường cao của ∆IMK

+ Xét ∆IMK có: MJ, IN là 2 đường cao giao nhau tại N

=> N là trực tâm của ∆ IMK 

=> KN ⊥ MI.