Giải bài tập 5 trang 40 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo
5. Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1l nước vào bình rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).
a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n∈ ℕ*
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a1 =$\frac{1}{2}$
Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}$=$\frac{3}{4}$l nước,
do đó: a2=$\frac{3}{4}$
Sau bước 3 thì trong bình có:$\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}$=$\frac{7}{8}$l
Ta có thể dự đoán an=$\frac{2^{n}-1}{2^n}$
b, Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với n = 1, ta có a1=$\frac{1}{2}$=$\frac{2^1-1}{2^1}$
Do đó công thức đúng với n = 1.
Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak=$\frac{2^k-1}{2^k}$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
a(k+1)=$\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$
Thật vậy:
ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ
k + 1 là:
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bình luận