Giải bài tập 5 trang 40 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo

a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a1 =$\frac{1}{2}$

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}$=$\frac{3}{4}$l nước,

do đó: a2=$\frac{3}{4}$

Sau bước 3 thì trong bình có:$\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}$=$\frac{7}{8}$l

Ta có thể dự đoán an=$\frac{2^{n}-1}{2^n}$

b, Ta chứng minh bằng quy nạp:

 Với n = 1, ta có a1=$\frac{1}{2}$=$\frac{2^1-1}{2^1}$

Do đó công thức đúng với n = 1.

Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak=$\frac{2^k-1}{2^k}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a(k+1)=$\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

Thật vậy:

ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ

k + 1 là:

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.