Giải bài tập 1 trang 40 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo

a, Với n=1 ta có $1^3$=$\frac{1^2(1+1)^2)}{4}$

 Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^3$+$2^3$+$3^3$+...+ $k^3$=$\frac{k^2(1+1)^2)}{4}$

Lại có: 

$1^3$+$2^3$+$3^3$+...+ $k^3$+$(k+1)^3$=$(k+1)^2$.[(k+1)+1]^2$.4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^3$+$2^3$+$3^3$+...+ $k^3$+$(k+1)^3$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b, Với n=1 

Ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = $1(1 + 1)^2$.  Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)=$k(k+1)^2$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh

1.4+2.7+3.10+....+ k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)$[(k+1)+1]^2$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1.4+2.7+3.10+....+ k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]

=$k(k+1)^2$+ (k+1)[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)[$k^2$ + 4k + 4)

=(k+1)$(k+2)^2$

=(k+1)$[(k+1)+1]^2$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c,  Với n = 1, ta có:

$\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2.1+1}$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

=

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

=

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.