Giải bài tập 4 trang 40 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo
4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $ $\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n$\epsilon N*$
Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}$=1=$\frac{1+1}{2}$
Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ $\leq $ $\frac{k+1}{2}$
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$+ $\frac{1}{k+1}$ $\leq $ $\frac{k+1}{2}$
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$+ $\frac{1}{k+1}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$+$\frac{1}{k+1}$=$\frac{(k+1)^2+2}{2(k+1)}$=$\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$
$\geq $ $\frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}$ $\geq$ $\frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}$
=$\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}$ =$\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}$
=$\frac{(k+2)}{2}$
=$\frac{(k+1)+1}{2}$
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bình luận