Giải bài tập 2 trang 40 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo

a, Với n=1, ta có $3^1$-1-2.1=0$\vdots 4$

Do đó khẳng định đúng với n=1

Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có $3^k$-1-2k $\vdots 4$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

 $3^{k+1}$ - 1 - 2(k+1)

=3.$3^k$ - 1 - 2k - 2k - 2

=3.$3^k$ - 3 - 6k + 4k

=3($3^k$ -1-2k)+4k

Vì ($3^k$-1-2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên ($3^k$-1-2k)+4k $\vdots4 $ 

Hay  $3^{k+1}$ - 1 - 2(k+1) $\vdots 4$ 

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b, Với n=1, ta có: $7^1$ - $4^1$ - $3^1=0 $\vdots 12$

 Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $7^1$ - $4^1$ - $3^1=0 $\vdots 12$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$7^{k+1}$-$4^{k+1}$-$3^{k+1}$\vdots 12

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$7^{k+1}$-$4^{k+1}$-$3^{k+1}$

=7.$7^k$-4.$4^k$-3.7.$4^k$

=7.$7^k$-7.$4^k$-7.$3^k$+3.$4^k$+4$3^k$

=7($7^k$ – $4^k$– $3^k$) + 3 . $4^k$+ 4 . $3^k$

=7($7^k$ – $4^k$– $3^k$)+12$4^{k-1}$+12$3^{k-1}$ (vì k ≥ 1).

Vì 7($7^k$ – $4^k$– $3^k$); 12$4^{k-1}$ và 12$3^{k-1}$ đều chia hết cho 12 nên 

7($7^k$ – $4^k$– $3^k$)+12$4^{k-1}$+12$3^{k-1}$ $\vdots 12$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.