Giải bài tập 25 trang 18 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:

Trước hết, ta chứng minh (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x⁵ ‒ x = x(x⁴ ‒ 1) = x(x² ‒ 1)(x² + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó [x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)] ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1 thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó [x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)] ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2 thì x² + 1 = (5k + 2)² + 1 = (25k² + 20k + 5) ⋮ 5.

Khi đó [x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)] ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3 thì x² + 1 = (5k + 3)² + 1 = (25k² + 30k + 10)⋮ 5.

Khi đó [x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)] ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4 thì x + 1 = (5k + 5) ⋮ 5.

Khi đó [x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)] ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Do đó (x⁵ ‒ x) ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Ta có: (x⁵ ‒ x) ⋮ 5; 15x² ⋮ 5; 5 ⋮ 5 nên (x⁵ ‒ 15x² ‒ x + 5) ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.