Giải bài 4 trang 100 Toán 11 tập 2 Cánh diều

Giả sử đường thẳng đó là d và mặt phẳng cho trước là P. Gọi A là một điểm trên đường thẳng d. Theo định nghĩa, ta có thể vẽ một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P và đi qua điểm A, gọi đường thẳng đó là d'. Vì d' và P vuông góc với nhau nên chúng tạo thành một góc vuông tại A.

Để chứng minh tồn tại mặt phẳng vuông góc với P và chứa đường thẳng d, ta chỉ cần chứng minh rằng mặt phẳng chứa d' cũng vuông góc với P. Điều này tương đương với việc chứng minh rằng đường thẳng d nằm trên mặt phẳng chứa d' và vuông góc với mặt phẳng P.

Giả sử tồn tại một mặt phẳng khác Q cũng vuông góc với mặt phẳng P và chứa đường thẳng d. Vì d nằm trên Q, nên d' cũng nằm trên Q, vì nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P và qua điểm A trên d. Như vậy, d' và Q cùng chứa đường thẳng d, do đó chúng trùng nhau, suy ra Q cũng chứa d'. Tức là mặt phẳng Q trùng với mặt phẳng chứa d', và vì thế mặt phẳng Q cũng vuông góc với P.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng P và chứa đường thẳng d.