Đáp án để số 4: Đề kiểm tra một tiết môn toán lớp 12

I.Đáp số

II.Hướng dẫn giải

Câu 4: 

Ta có: $y=ln(16x^{2}+1)-(m+1)x+m+2$

$y^{'}=\frac{32x}{16x^{2}+1}-(m+1)$

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $y^{'}\leq 0$, với x thuộc R

$\Leftrightarrow \frac{32x}{16x^{2}+1}-(m+1)\leq 0$ với mọi x thuộc R

$\Leftrightarrow \frac{32x}{16x^{2}+1}\leq(m+1)\Leftrightarrow m+1\geq \underset{R}{max}g(x), g(x)=\frac{32x}{16x^{2}+1}$

$g^{'}(x)=\frac{-512x^{2}+32}{(16x^{2}+1)^{2}}$

$g^{'}(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ hoặc $x=\frac{-1}{4}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{R}{max}g(x)=4$

Do đó $m+1\geq 4\Leftrightarrow m\geq 3$.

Câu 13:

$y=\frac{x^{2}-4x}{x+m}$ có tập xác định là D = R\{-m} và có $y^{'}=\frac{x^{2}+2mx-4m}{(x+m)^{2}}$.

Hàm số đã cho đồng biến trên $[1;+\infty ) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m< 1\\x^{2}+2mx-4m\geq 0, x\in [1;+\infty ) \end{matrix}\right.$

$x^{2}+2mx-4m\geq 0, x\in [1;+\infty )\Leftrightarrow \Delta \leq 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix}\Delta > 0\\x_{1}< x_{2}\leq 1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m^{2}+4m\leq 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix}m^{2}+4m> 0\\ -m+\sqrt{m^{2}+4m}\leq 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -4\leq m\leq 0$ hoặc $0\leq m\leq \frac{1}{2}$.

kết hợp với điều kiện m > -1 ta được $-1< m\leq \frac{1}{2}$.

Suy ra chọn D.

Câu 17: 

Ta có: $y^{'}=mx^{2}-2(m-1)x+3(m-2)$

Hàm số đồng biến trên $[2 ;+\infty)$ thì: 

$y^{'}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}mx^{3}-(m-1)x^{2}+3(m-2)x+\frac{1}{3}\geq 0$ với x thuộc $[2 ;+\infty)$.

$\Leftrightarrow m(x^{2}-2x+3)+2x-6\geq 0\Leftrightarrow m\geq \frac{6-2x}{x^{2}-2x+3)+2x-6} x\in [2 ;+\infty)$

Đặt $f(x)=\frac{6-2x}{x^{2}-2x+3)+2x-6} x\in [2 ;+\infty)$

$f^{'}(x)=\frac{2x^{2}-12x+6}{(x^{2}-2x+3)^{2}}$

$f^{'}(x)=0\Leftrightarrow \frac{2x^{2}-12x+6}{(x^{2}-2x+3)^{2}}=0\Leftrightarrow x=3+\sqrt{6}  x = 3-\sqrt{6}$

Ta chọn $x =3+\sqrt{6}$

Ta có: $f(2)=\frac{2}{3};f(3+\sqrt{6})=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)\leq m\Leftrightarrow m\geq \frac{2}{3}$

Chọn A.