Đáp án đề số 4: Đề kiểm tra cuối năm môn toán lớp 12

I.Đáp số

I.Hướng dẫn giải

Câu 6:

Vì $x_{1},x_{2},x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình $f(x)=0 \Rightarrow f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

Ta có: $f^{'}(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})+a(x-x_{2})(x-x_{3})+a(x-x_{1})(x-x_{3})$

Khi đó

$\left\{\begin{matrix}f^{'}(x_{1})=a(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\\ f^{'}(x_{2})=a(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})\\ f^{'}(x_{3})=a(x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow T=\frac{1}{a(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}+\frac{1}{a(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}+\frac{1}{a(x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})}$

$= \frac{1}{a(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}-\frac{1}{a(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})}+\frac{1}{a(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})}$

$=\frac{x_{2}-x_{3}-x_{1}+x_{3}+x_{1}-x_{2}}{a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}=0$

Chọn D

Câu 11:

Phương trình hoành độ giao điểm của của d và đồ thị: $3mx^{2}-3m^{2}x-m=0,x\neq \frac{-1}{m}$

Vì m khác 0 nên phương trình $\Leftrightarrow 3x^{2}-3mx-1=0 (*)$

Ta có: $\Delta =9m^{2}+12>0,\forall m$ và $\left ( \frac{-1}{m} \right )=\frac{3}{m^{2}}+2\neq 0,\forall m$ (Ở đây f(x) là vế trái của (*) nên d luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B)

Ta có: $A(x_{1};3x_{1}-3m ), B(x_{2};3x_{2}-3m )$ với $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của (*)

Kẻ đường cao OH của $\Delta OAB$ ta có: $OH=\frac{\mid -3m\mid }{\sqrt{10}}$ và $AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(3x_{1}-3x_{2})^{2}}=\sqrt{10m^{2}+\frac{40}{3}}$ (dùng định lí viét)

Mặt khác ta có: C(m;0), D(0;-3m)(C,D,O phân biệt). Ta tìm m để:

$S_{\Delta OAB}=2S_{\Delta OCD}$ hay $\sqrt{10m^{2}+\frac{40}{3}}.\frac{\mid -3m\mid }{\sqrt{10}} =2\mid m\mid .\mid 3m\mid\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}$ hoặc $m=\frac{-2}{3}$

Chọn C

Câu 25:

Đặt $z = x + yi$, khi đó $\left | \frac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right |=\sqrt{2}\Leftrightarrow \mid x+2+(y-1)i\mid =\sqrt{2}\mid x+1-(y+1)i\mid$

$\Leftrightarrow (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=2(x+1)^{2}+2(y+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+(y+3)^{2}=10$ (1)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của $T=x^{2}+y^{2}$

(1)$\Rightarrow x^{2}=10-(y+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{10}-3\leq y\leq \sqrt{10}+3$. Do đó:

$T = x^{2}+y^{2}=1-6y\Rightarrow 19-6\sqrt{10}\leq T\leq 19+6\sqrt{10}\Leftrightarrow (\sqrt{10}-3)^{2}\leq \mid z\mid ^{2}\leq (\sqrt{10}+3)^{2}$

Câu 23:

Chọn A.

Gọi I là trung điểm AB, H là hình chiếu của C trên mặt (ABD)

K là trung điểm CD. Ta có:

$DI=\sqrt{BD^{2}-\left (\frac{AB}{2}  \right )^{2}}=\sqrt{9a^{2}-4a^{2}}=a\sqrt{5}=CI$

$IK=\sqrt{DI^{2}-\left (\frac{CD}{2}  \right )^{2}}=\sqrt{5a^{2}-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{20a^{2}-x^{2}}}{2}$

$CH=\frac{IK.CD}{ID}=\frac{x.\frac{\sqrt{20a^{2}-x^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{x.\sqrt{20a^{2}-x^{2}}}{2a\sqrt{5}}$

Thể tích khối đa diện lớn nhất khi CH lớn nhất khi:

$x.\sqrt{20a^{2}-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+20a^{2}-x^{2}}{2}=10a^{2}\Rightarrow CD\leq a\sqrt{5}$

Đạt được khi $x^{2}=20a^{2}-x^{2}\Leftrightarrow x=a\sqrt{10}$

Chọn B

Câu 34:

Ta có: $r^{2}=R^{2}-\frac{h^{2}}{4}$

Thể tích khối trụ: $V=\pi .\left ( R^{2}-\frac{h^{2}}{4} \right ).h$

$\Leftrightarrow V=\pi R^{2}h-\frac{\pi h^{3}}{4}$.

Ta có: $V^{'}=\pi R^{2}-\frac{3\pi h^{2}}{4}\Rightarrow V^{'}=0\Leftrightarrow h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích lớn nhất khi $h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Chọn A

Câu 39: 

Ta có: $y^{'}=6x^{2}+6(m-1)x+6(m-2)$

Hàm số nghịch biến trên $(a;b)\Leftrightarrow x^{2}+(m-1)x+(m-2) \leq 0,\forall x\in (a;b)$

$\Delta =m^{2}-6m+9$

TH1: $\Delta \leq 0\Rightarrow x^{2}+(m-1)x+(m-2)\geq 0$ (vô lí)

TH2: $\Delta> 0\Leftrightarrow m\neq 3\Rightarrow y^{'}$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}(x_{2}>x_{1})$

Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên $(x_{1};x_{2})$

Yêu cầu đề bài $\Leftrightarrow x_{2}-x_{1}> 3\Leftrightarrow (x_{2}-x_{1})^{2}>9\Leftrightarrow S^{2}-4P^{2}>9\Leftrightarrow (m-1)^{2}-4(m-2)>9\Leftrightarrow m(m-6)> 0\Leftrightarrow m<0 hoặc m>6$

Chọn D

Câu 40:

Gọi K là hình chiếu của I lên AB.

Suy ra $\widehat{SKI}=60^{\circ}$

Do $IK//AD\Rightarrow \frac{KI}{AD}=\frac{BI}{BD}$

Mà: $\frac{BI}{DI}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{BI}{BI+ID}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{BI}{BD}=\frac{1}{4}$

Suy ra $\frac{KI}{AD}=\frac{1}{4}\Rightarrow KI=\frac{3a}{4}\Rightarrow SI=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$

Gọi H là hình chiếu của I lên SK $\Rightarrow AB\perp IH \Rightarrow  IH\perp (SAB)\Rightarrow d(I,(SAB))=IH$

Do $DB=4IB\Rightarrow d(D,(SAB))=4d(I,(SAB))=4IH$

Lại có: $\frac{1}{IH^{2}}=\frac{1}{IS^{2}}+\frac{1}{IK^{2}}=\frac{16a^{2}}{27}+\frac{16a^{2}}{9}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{3}}{8}$

Vậy $d(D,(SAB))=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$

Chọn D

Câu 45: 

Ta có: $log_{2}(a+1)+log_{2}(b+1)\geq 6\Leftrightarrow (a+1)(b+1)\geq 2^{6}\Leftrightarrow (a+1)(b+1)\geq 64$.

Mà ta có: $\left (\frac{a+b+2}{2}  \right )^{2}\geq (a+1)(b+1)\geq 64\Leftrightarrow (a+b^{2})+4(a+b)-252\geq 0\Leftrightarrow (a+b)\geq 14$ (do a,b >0)

Vậy $min_{S}=14$

Chọn B

Câu 49:

Giả sử $M({x_{M}};{x_{M}})$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=a^{x}, N({x_{0}};{x_{0}}$) là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d: y=-x

Gọi I là trung điểm của MN $\Rightarrow I(\frac{x_{M}+x_{M0}}{2};\frac{y_{M}+y_{B}}{2})$

Vì M, N đối xứng qua đường thẳng d: y=-x $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in d\\ \vec{ MN}//\vec{n}_{d}\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{y_{M}+y_{0}}{2}=- \frac{x_{M}+x_{0}}{2}\\ \frac{x_{M}-x_{0}}{1}=\frac{y_{M}-y_{0}}{1}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{0}=-y_{M} \\ x_{M}=-y_{0}\end{matrix}\right.$

Ta có: $M(x_{M};{x_{M}})$ thuộc đồ thị $y=a^{x}$ nên $y_{M}=a^{x_{M}} $

Do đó: $x_{0}=-y_{M}=-a^{x_{M}} =-a^{-y_{0}} \Rightarrow -y_{0}=log_{a}(-x_{0})\Leftrightarrow y_{0}=-log_{a}(-x_{0})$. Điều này chứng tỏ điểm N thuộc đồ thị hàm số $f(x)=-log_{a}(-x_{0}).$

Khi đó $f(-a^{3})=-log_{a}(a^{3})=-3$

Chọn C

Câu 50:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta ^{'}>0\\ x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{2(m-2)}{m-1}\\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\\ x_{1}+x_{2}+x_{1}.x_{2}  < 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}1>0\\ \frac{2(m-2)}{m-1}+\frac{m-3}{m-1}< 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{2(m-2)}{m-1}+\frac{m-3}{m-1}< 1$

$\Leftrightarrow \frac{3m-7}{m-1<1}\Leftrightarrow \frac{2m-6}{m-1}< 0\Leftrightarrow m\in (1;3)$

Chọn B