Đáp án đề số 1: Đề kiểm tra giữa kỳ I môn toán lớp 12

I. Đáp số

II. Hướng dẫn giải

Câu 5: 

Chia hai vế của bất phương trình cho $2^x$ ta được,

$(\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x+(\frac{5-\sqrt{21}}{2})^x\leq 5$.

Vì $(\frac{5+\sqrt{21}}{2}). (\frac{5-\sqrt{21}}{2}) =1$ nên đặt $t=(\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x$ thì $(\frac{5-\sqrt{21}}{2})^x=\frac{1}{t}$.

Khi đó bất phương trình trở thành:

$t+\frac{1}{t}\leq 5 \Leftrightarrow t^2-5t+1\leq 0\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq t\leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq (\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x   \leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\Leftrightarrow  -1\leq x\leq 1.$

Vậy tổng tất cả các nghiệm dương của bất phương trình là T=1.

Câu 13:

Chú ý: Số A có n chữ số khi và chỉ khi $10^{n-1}\leq A<10^n \Leftrightarrow n-1\leq \log A< n.$

Ta có $\log (2^{100}) \approx 30,1$

$\Rightarrow  30<\log(2^{100}) <31. $

Do đó, khi viết $2^{100}$ dưới dạng thập phân, ta được số có 31 chữ số.

Câu 12:

Để đẳng thức $f(x)+f(-x)=1$ với mọi $x\in R$ thì trước hết phải đúng với $x=0.$

Cho x=0, ta có:

$f(x)+f(-x)=f(0)+f(0)=\frac{2}{1+m}$.

Suy ra $\frac{2}{1+m}=1.$ Ta giải được $m=1.$

Thử lại, với m=1, ta có $f(x)+f(-x)=\frac{2^x}{2^x+1}+\frac{2^{-x}}{2^{-x}+1} =1$ với mọi $x\in R$.

Câu 20:

Ta thấy các điểm (a; 1), (b; 1), (c; 1), lần lượt thuộc các đồ thị hàm số $y=\log_a x$, $y=\log_b x$, $y=\log_c x$. 

Vậy $c<a<b.$

Câu 24:

Hạ $SH \perp AB$, $H\in AB$, suy ra $SH \perp  (ABC)$.

Gọi I; J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, SAB.

Trong mặt phẳng $(SHC)$, đường thẳng vuông góc với SH tại J cắt $\Delta$ tại O, suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Trong tam giác vuông SJO:

$SO^2=SJ^2+JO^2=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{\sqrt{3}}{6})^2=\frac{5}{12}$.

Suy ra, bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

$R= SO=\frac{\sqrt{15}}{6}$. 

Vậy $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{5\pi \sqrt{15}}{54}$.