CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA 

Hoạt động 1:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u$_{1}$ = 3 . 2$^{1}$ = 6; 

u$_{2}$ = 3 . 2$^{2}$ = 12; 

u$_{3}$ = 3 . 2$^{3}$ = 24; 

u$_{4}$ = 3 . 2$^{4}$  = 48; 

u$_{5}$ = 3 . 2$^{5}$ = 96. 

b) Ta có:

u$_{n-1}$=3.2$^{n-1}$=$\frac{2^{n}}{2^{1}}$=$\frac{3.2^{n}}{2}$=$\frac{u_{n}}{2}$,

suy ra u$_{n}$=u$_{n-1}$.2.

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u$_{n}$ và u$_{n-1}$ là: 

u$_{1}$=6, u$_{n}$=u$_{n-1}$.2 với n≥2

Kết luận

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

+ Cấp số nhân (u$_{n}$) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

u$_{n}$=u$_{n-1}$.q với n≥2.

Câu hỏi

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 1 : (SGK – tr.52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52).

Ví dụ 2: (SGK – tr .52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr53).

Luyện tập 1

Với mọi n≥2, ta có:

$\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$=$\frac{2.5^{n}}{2.5^{n-1}}$=$\frac{5^{n}}{\frac{5^{n}}{5}}$=5

Tức là u$_{5}$=5u$_{n-1}$ với mọi n≥2.

Vậy (u$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$= 2 . 5$^{1}$ = 10 và công bội q = 5.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ . q;

u$_{3}$ = u$_{2}$ . q = (u$_{1}$ . q) . q = u$_{1}$ . q$^{2}$; 

u$_{4}$ = u$_{3}$ . q = (u$_{1}$ . q$^{2}$) . q = u$_{1}$ . q$^{3}$; 

u$_{5}$= u$_{4}$ . q = (u$_{1}$ . q$^{3}$) . q = u$_{1}$ . q$^{4}$. 

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo 

u$_{1}$ và q là u$_{n}$=u$_{1}$.q$^{n-1}$ với n≥2

Kết luận

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

u$_{n}$=u$_{1}$.q$^{n-1}$ với n≥2.

Ví dụ 3: (SGK – 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Ví dụ 4: (SGK – tr. 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53, 54).

Luyện tập 2.

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u$_{6}$ là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u$_{6}$=u$_{1}$.q$^{6-1}$=5000.1,08$^{5}$≈7 347

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Hoạt động 3 

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ . q; ...; 

u$_{n-1}$= u$_{1}$ . q$^{(n-1)-1}$=u$_{1}$ . q$^{n-2}$; u$_{n}$= u$_{1}$ . q$^{n-1}$

Do đó, S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+ ... + u$_{n-1}$+ u$_{n}$ 

= u$_{1}$+u$_{1}$ . q + ... + u$_{1}$ . q$^{n-2}$+ u$_{1}$ . q$^{n-1}$ (1). 

b) Ta có: 

q . S$_{n}$ =q . (u$_{1}$ +u$_{1}$ . q + ... + u$_{1}$ . q$^{n-2}$+u$_{1}$ . q$^{n-1}$) 

<=> q . S$_{n}$=u$_{1}$ . q + u$_{1}$ . q$^{2}$ + ... + u$_{1}$ . q$^{n-1}$+u$_{1}$ . q$^{n}$ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S$_{n}$ – q . S$_{n}$ =(u$_{1}$ +u$_{1}$ . q + … + u$_{1}$ . q$^{n-2}$+u$_{1}$ . q$^{n-1}$) –(u$_{1}$ . q + u$_{1}$ . q$^{2}$ + ... + u$_{1}$ . q$^{n-1}$ + u$_{1}$ . q$^{n}$)  

<=> (1 – q)S$_{n}$ = u$_{1}$ – u$_{1}$ . q$^{n}$ 

<=> (1 – q)S$_{n}$ = u$_{1}$(1 – q$^{n}$) 

S$_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$ với q≠1.

Kết luận

Cho cấp số nhân (u$_{n}$) với công bội q≠1. Đặt S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$. Khi đó 

S$_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Câu hỏi

Nếu cấp số nhân có công bội q=1 thì cấp số nhân là u$_{1}$, u$_{1}$, ..., u$_{1}$,... Khi đó

S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{1}$+ ... + u$_{1}$=n . u$_{1}$ (tổng của n số hạng u$_{1}$).

Ví dụ 5: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 6: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Vận dụng

Ta có: 3 năm bằng 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$=15 và công sai d=1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là:

S$_{12}$=$\frac{12}{2}$(2u$_{1}$+(12-1)d )

       =6(2.15+11.1,5)=279 (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3=15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$'=15 và công bội q=1,05. 

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý là

S$_{12}$'=$\frac{u_{1}'(1-q^{12})}{1-q}$=$\frac{15(1-(1,05)^{12})}{1-1,05}$≈238,76 (triệu đồng).

+ Vì 279>238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.