I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG $\sqrt{f(x)}= \sqrt{g(x)}$ (I)

($f(x) = ax^2 + bx + c$ và $g(x) = mx^2 + nx + p$ với $a \neq m$, a hoặc m có thể bằng 0).

Để giải phương trình (I), ta làm như sau:

Bước 1. Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình $f(x) = g(x)$ rồi tìm nghiệm của phương trình này. 

Bước 2. Thay từng nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ vào bất phương trình $f(x) \geq 0$ (hoặc $g(x) \geq 0$). Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi. 

Bước 3. Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I).

Chú ý:

+ Trong hai bất phương trình $f(x) \geq 0$ và $g(x) \geq 0$, ta thường chọn bất phương trình có dạng đơn giản hơn để thực hiện Bước 2.

+ Người ta thường chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I). 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr57)

Luyện tập 1: 

$\sqrt{3x^2-4x+1}= \sqrt{x^2+x-1}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 

$3x^2-4x+1=x^2+x-1$

⟺ $2x^2 – 5x + 2 = 0$

⟺ $x = 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$

Thay lần lượt 2 giá trị $x = 2$ và $x = \frac{1}{2}$ vào $x^2+x-1 \geq 0$ ta thấy chỉ có $x = 2$ thoả mãn bất phương trình. 

Vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình đã cho. 

II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG $\sqrt{f(x)}=g(x)$ (II)

($f(x) = ax^2 + bx + c$ và $g(x) = dx + e$ với $a \neq d^2$, a hoặc d có thể bằng 0). 

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình $g(x) \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 

Bước 2: Bình phương hai vế của (II) dẫn đến phương trình $f(x) = [gx]^2$ rồi tìm nghiệm của phương trình đó. 

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình $f(x) = [gx]^2$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $gx ≥ 0$. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ 3(SGK – tr57-58)

Luyện tập 2:

$\sqrt{3x-5}=x-1 (1)$

Ta có $x - 1 ≥ 0 ⇔x ≥ 1 (2)$

Bình phương hai vế của (1) ta được $3x-5=x^2-2x+1⇔-x^2+5x-6=0$

$\left[\begin{array}{l}x =2 \\x =3 \\\end{array}\right.$

Hai giá trị đều thỏa mãn (2)

Vậy phương trình có nghiệm {2;3}.

Ví dụ 4 (SGK – tr57-58)