I. TẬP HỢP

HĐ1.  

Có hai cách cho một tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Chẳng hạn: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Chẳng hạn: A = {x ∈ N|0 ≤ x ≤5}

HĐ2.

a) A = {a; b; c}. 

b) d ∉ A

Ví dụ 1 (SGK – tr12)

HĐ3. 

+ C = {x ∈ ℝ | $x^2 < 0$}

Ta có với mọi số thực x thì $x^2 ≥ 0$, suy ra không tồn tại số thực x để $x^2 < 0$.

Vậy tập hợp C không có phần tử nào.

+ D = {a}

Tập hợp D có 1 phần tử, là phần tử a.

+ E = {b; c; d}

Tập hợp E có 3 phần tử.

+ ℕ= {0; 1; 2; …}.

Tập hợp ℕ là tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp này có vô số phần tử.

Nhận xét:

- Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (tập rỗng), kí hiệu Ø.

- Một tập hợp có thể không có phân tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử.

Chú ý: Khi tập hợp C là tập hợp rỗng, ta viết C= Ø và không được viết là C= { Ø }.

Luyện tập 1:

+ G ={x ∈ Z| $x^2 −2 = 0$}. 

Tập hợp G không chứa phần tử nào vì:

$x^2 −2 = 0$ ⇔ $x = ±\sqrt{2}$ ∉ Z.

+ N*={1;2;3;..}.

 Tập hợp N* có vô số phần tử.

II. TẬP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU. 

Tập con

HĐ4. 

a) A = {−2; −1; 0; 1; 2}

B={−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}

b) Mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.

Kết luận:

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là môt tập hợp con của B và viết là A ⸦ B. Ta còn đọc A chứa trong B.

Quy ước: Tập hợp Ø được coi là tập hợp con của mọi tập hợp.

Chú ý: 

+ A ⊂ B ⇔ (∀x, x∈A ⇒ x∈B)

+ Khi A ⊂ B, ta cũng có thể viết B ⸧ A 

+ Nếu A không phải tập hợp con của B, ta viết A ⊄ B.

Ví dụ 2 (SGK – tr13)

Luyện tập 2:

Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.

Ta có: n chia hết cho 9 

n đều viết được dưới dạng:

 n = 9k (k∈ N)

⇒ n = 3.(3k) ⋮ 3 (k ∈ N)

⇒ n ∈ A

Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử của tập hợp A hay B ⸦ A.

Kết luận:

Ta có các tính chất sau: 

• A ⸦ A với mọi tập hợp A

• Nếu A ⸦ B và B ⸦ C thì A ⸦ C

Tập hợp băng nhau

HĐ5. 

Ta có: B = {0;6;12;18}

a) Tất cả các phần tử của tập A đều thuộc tập B nên A⊂B là mệnh đề đúng.

b) Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A nên B⊂A là mệnh đề đúng.

Kết luận:

Khi A ⸦ B và B ⸦ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

Chú ý: 

A = B ⇔ (Ɐ x, x ∈ A ⇔ x  ∈ B).

Ví dụ 3 (SGK -tr14)

Luyện tập 3.

Ta có:

n chia hết cho 3 và 4 khi và chỉ khi n chia hết cho 12 do (3, 4) =1.

Vậy E = G.

III. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

HĐ6. 

Danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.

Kết luận:

Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B.

Kí hiệu là A ∩ B.

Lưu ý:

 x ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B.

Ví dụ 4 (SGK -tr14)

IV. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

HĐ7. 

Danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông.

Kết luận:

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B. Kí hiệu là A ∪ B.

Chú ý: x ∈ A ∪ B. khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B

Ví dụ 5 (SGK -tr15)

Luyện tập 4.

A ∩ B={0}

A ∪ B=R

V. PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP

HĐ8. 

Tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp Q các số hữu tỉ.

Kết luận:

Cho tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B. Tập hợp những phân tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu là $C_{B}A$.

Ví dụ 6 (SGK tr16)

HĐ9

Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.

Kết luận:

Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B kí hiệu là A \ B.

Lưu ý: 

+ x ∈ A \ B  khi và chỉ khi x ∈ A và x ∉ B

+ Nếu B ⊂ A thì A \ B = $C_{A}B$

Ví dụ 7 (SGK – tr16)

Ví dụ 8 (SGK – tr16)

Luyện tập 5:

Ta có: 

A={ x ∈ Z| −2 ≤ x ≤ 3}= {−2; −1; 0; 1; 2; 3}

Và B= { x ∈ R| $x^2 - x - 6=0$} = { −2; 3}

Khi đó:

Tập hợp A∖B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy A∖B={−1; 0; 1; 2}. 

Tập hợp B∖A gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy B∖A= ∅

VI. CÁC TẬP HỢP SỐ

Các tập hợp số đã học

Mối quan hệ giữa các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

2. Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực

Cho a và b là hai số thực với a < b.

Ví dụ 9 (SGK -tr18)