Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 chân trời sáng tạo

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

q  Quan sát đồ thị dưới đây và cho biết:

Hàm số trên có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số  có đạo hàm trên .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  đồng biến trên .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  nghịch biến trên .

Chú ý: Khi xét tinh đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng , ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Các bước thực hiện

Để xét tính đơn điệu của hàm số , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm  của hàm số. Tìm các điểm  thuộc  mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Xét dấu  và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

•      Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số .

Giải:

Tập xác định:

Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và ,  nghịch biến trên các khoảng  và .

Chú ý:

a) Nếu hàm số  có đạo hàm trên ,  với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên .

b) Nếu hàm số  có đạo hàm trên ,  với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .

c) Nếu  với mọi  thì hàm số không đổi trên .

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm: Cho hàm số  xác định trên tập hợp  và .

• Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực đại,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số , kí hiệu .
• Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực tiểu,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số , kí hiệu .

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm: Cho hàm số  xác định trên tập hợp  và .

• Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực đại,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số , kí hiệu .
• Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực tiểu,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số , kí hiệu .

•       Ví dụ: Dựa vào đồ thị dưới đây, chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.

Giải:

•      Xét khoảng  chứa điểm , ta có  với mọi  và .

Vậy  là điểm tiểu của hàm số.

•      Xét khoảng  chứa điểm  ta có  với mọi  và .

Vậy  là điểm đại của hàm số.

Định lí:

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đoạ hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi  và  với mọi  thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

b)  Nếu  với mọi  và  với mọi  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Nhận xét:

Để tìm cực trị của hàm số ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm  của hàm số. Tìm các điểm  thuộc  mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4: Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.

Giải:

Tập xác định:

Ta có:  hoặc

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

Chú ý:

a) Nếu  và  không đổi dấu khi  qua điểm thì hàm số không có cực trị tại .

b) Nếu  không đổi dấu trên khoảng  thì  không có cực trị trên khoảng đó.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức.

Phương pháp giải:

Để xét tính đơn điệu của hàm số , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm  của hàm số. Tìm các điểm  thuộc  mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Xét dấu  và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Giải

Giải:

Tập xác định:

Ta có:  hoặc

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Giải:

Tập xác định:

Ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .