Lời giải bài số 6, 18, 31, 48 Đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Quốc học Huế lần 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 6: Gọi (H) là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ 0xy biểu diễn số phức $z=a+bi, (a, b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2} \leq 1 \leq a-b$. Tính diện tích hình $(H)$.

Giải: Đáp án C

Gọi M(a,b) biểu diễn số phức $z=a+bi, (a, b \in \mathbb{R}$). Từ giả thiết suy ra 

$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2} \leq 1\\ a-b \geq 1\end{matrix}\right.$. (Hình vẽ)

Suy ra diện tích hình (H) là $S=\frac{1}{4} S_{ht}-S_{OAB}=\frac{1}{4} \pi OA^{2}-\frac{1}{2}OA.OB=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$.

Câu 18: Người ta dựng một cái lều vải $(H)$ có dạng hình chóp lục giác đều cong như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO=6m (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6}$ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến nếu có của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.

Giải: Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là $A(0,6), B(1,3), C(0,3)$ nên có phương trình $y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{7}{2}x+6$.

Theo như hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM. Nếu ta đặt $t=OM$ thì

Xét phương trình $\frac{1}{2}x^{2}-\frac{7}{2}x+6=t \Leftrightarrow  (x-\frac{7}{2})^{2}=2t+\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{7}{2} \pm \sqrt{2t+\frac{1}{4}}$

$\Rightarrow BM=\frac{7}{2}-\sqrt{2t+\frac{1}{4}}$ (chú ý là ta phải lấy giá trị có dấu "-" trước dấu căn và cho B chạy từ C đến A).

Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng $S(t)=6. \frac{BM^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}  ( \frac{7}{2}-\sqrt{2t+\frac{1}{4}}) ^{2}$ với $t \in [0,6]$.

Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là $V=\int_{0}^{6} S(t)= \int_{0}^{6}\frac{3 \sqrt{3}}{2}  ( \frac{7}{2}-\sqrt{2t+\frac{1}{4}}) ^{2}=\frac{135 \sqrt{3}}{8} $.

Câu 31: Trong hệ thập phân số $2016^{2017}$ có bao nhiêu chữ số?

Giải: Đáp án C

Ta có $\log 2016^{2017}\approx  6665,15\Rightarrow  10^{6665}<2016^{2017}<10^{6666}$.

Vậy $2016^{2017}$ có 6666 chữ số.

Câu 48: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Tồn tại một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn đó.

B. Nếu một điểm nằm ngoài mặt cầu thì qua điểm đó có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

C. Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

D. Tồn tại mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng.

Giải: Đáp án C

Xét hình bát diện tạo bởi hai hình chóp tứ giác đều S.ABCD và S'.ABCD sao cho SO>S'O trong đó hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và nội tiếp mặt cầu tâm O.

Tuy nhiên rõ ràng là S' không nằm trên mặt cầu tâm O này.