Lời giải bài số 40, 41, 42, 46 Đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Quốc học Huế lần 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 40: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ như (hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp ba lần so với giá vật liệu làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tính tỉ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí sản xuất vật liệu là nhỏ nhất?

Giải: Đáp án D

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là $V=1$ và giá mỗi đơn vị diện tích là 1.

Theo bài ra ta có $\pi r^{2}h=1 \Rightarrow h=\frac{1}{\pi r^{2}}\Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{1}{\pi r^{3}}$. 

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{1}=2 \pi rh=2 \pi r. \frac{1}{\pi r^{2}}=\frac{2}{r}$.

Diện tích một mặt đáy là $S_{2}=\pi r^{2}$.

Suy ra giá vật liệu để làm thùng hình trụ là $P=\frac{2}{r}.1+3.1.2\pi r^{2}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r}+6 \pi r^{2} \geq 3 \sqrt[3]{6 \pi}$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{r}=6\pi r^{2}\Leftrightarrow r^{3}=\frac{1}{6 \pi}$. Suy ra $\frac{h}{r}=\frac{1}{\pi r^{3}}=\frac{1}{\pi.\frac{1}{6 \pi}}=6$.

 Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn $|z|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|z+1|+2|z-1|$.

Giải: Đáp án A

Gọi số phức $z=x+yi (x,y \in \mathbb{R})$.

Ta có $|z|=1 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$.

Mà $T=|z+1|+2|z-1|=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+2.\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}= \sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}+2.\sqrt{x^{2}-2x+1+y^{2}}=\sqrt{2x+2}+2 \sqrt{2-2x}$ (do $x^{2}+y^{2}=1)$.

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có $(\sqrt{2x+2}+2 \sqrt{2-2x})^{2} \leq (1+2^{2})(2x+2+2-2x)=20$.

Suy ra $-2\sqrt{5} \leq T \leq 2 \sqrt{5}$ nên $\max T =2 \sqrt{5}$.

Câu 42: Học sinh A sử dụng một xô đựng nước có hình dạng và kích thước như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20cm, miệng xô là hình tròn bán kính 30cm, chiều cao của xô là 80cm. Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết gái nước là 20000 đồng/$1m^{3}$ (số tiền được tính đến đơn vị đồng)?

Giải: Đáp án D

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt ta có 

$V=\frac{\pi h}{3}(R^{2}+r^{2}+Rr)=\frac{\pi. 80}{3}(30^{2}+20^{2}+30.20)=\frac{152000}{3} \pi (cm^{3})=\frac{19}{375} \pi (m^{3})$

Vậy số tiền phải trả là $T=\frac{19}{375} \pi .10. 20000=31835$ (đồng).

Câu 46: Cho hai hình tròn $(O_{1},5)$ và $(O_{2},3)$ cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là đường kính của đường tròn $(O_{2})$. Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay (D) quanh trục $O_{1}O_{2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tại thành.

 Giải: Đáp án C

Chọn hệ tọa độ 0xy với $O_{2} \equiv O,O_{2}C \equiv Ox, O_{2}A \equiv Oy$.

Đoạn $O_{1}O_{2}=\sqrt{O_{1}A^{2}-O_{2}A^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\Rightarrow  (O_{1}):(x+4)^{2}+y^{2}=25$.

Kí hiệu (H_{1}) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $(O_{1}):(x+4)^{2}+y^{2}=25, Oy: x=0, x \geq 0$.

Kí hiệu (H_{2}) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $(O_{2}):x^{2}+y^{2}=9, Oy: x=0, x \geq 0$.

Khi đó thể tích V cần tìm chính bằng thể tích $V_{2}$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $H_{2}$ xung quanh trục Ox trừ đi thể tích $V_{1}$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H_{1})$ xung quanh trục Ox.

Ta có: $V_{2}=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi r^{3}=18 \pi$.

$V_{1}= \pi \int_{0}^{1} y^{2}dx=\pi \int_{0}^{1}[25-(x+4)^{2}]dx=\frac{14 \pi}{3}$.

$V=V_{2}-V_{1}=\frac{40 \pi }{3}$.