Lời giải bài số 2, 3, 15, 19 Đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Thái Bình lần 4

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 2: Đồ thị hàm số $y=x^{4}-2x^{2}+1$ có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?

Giải: Đáp án A

Ta có $y'=4x^{3}-4x$

Gọi d là tiếp tuyến cần tìm. Vì $d$ song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0, từ đó hoành độ tiếp điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình $y'=0 \Leftrightarrow 4x^{3}-4x=0 \Leftrightarrow   \left[ \matrix{x = 0 \Rightarrow y=1 \hfill \cr x = \pm 1 \Rightarrow y=0 \hfill \cr} \right.$

Do $y=0$ chính là trục hoành nên chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là $y=1$

Câu 3: Tập xác địng của hàm số $y=\ln(\log x)$ là 

Giải: Đáp án B

Điều kiện xác định $\left\{\begin{matrix}\log x>0\\ x>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x>1\\ x>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow  x>1$

Câu 15: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt (tức diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là

Giải: Đáp án D

Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ

Thể tích không đổi $V= \pi R^{2} h \Rightarrow h =\frac{V}{\pi R^{2}}, S_{tp}=2 \pi R^{2}+2 \pi Rh= 2\pi R^{2}+\frac{2V}{R} (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương $2 \pi R^{2}, \frac{V}{R}, \frac{V}{R}$ ta có

$S_{tp}=2 \pi R^{2}+ \frac{V}{R}+ \frac{V}{R} \geq 3 \sqrt[3]{2 \pi R^{2}.\frac{V}{R}.\frac{V}{R}}=3\sqrt[3]{2 \pi V^{2}} (*)$.

Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật

$V=abh \Rightarrow  h=\frac{V}{ab}, S_{tp}=2ab+2(a+b)h=2ab+2a. \frac{V}{ab}+2b.\frac{V}{ab}=2(ab+\frac{V}{b}+\frac{V}{a})$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương $ab, \frac{V}{b}, \frac{V}{a})$

Ta có $S_{tp} \geq 2.3. \sqrt[3]{ab.\frac{V}{a}.\frac{V}{b}}=6\sqrt[3]{V^{2}}(**)$

Xét hai kết quả thấy (*) nhỏ hơn.

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là $3\sqrt[3]{2 \pi V^{2}} $, xảy ra khi hộp sữ có hình trụ có bán kính đáy thỏa mãn $R= \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$.

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{4}-2mx^{2}+m-3$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân.

Giải: Đáp án C

TXĐ: $D\mathbb{R}$.

Ta có $y'=4x^{3}-4mx$, $y'=0\Leftrightarrow  \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x^{2}=m \hfill \cr} \right.$

Do đồ thị hàm trùng phương có ba điểm cực trị luôn tạo thành một tam giác cân. Để thỏa mãn đề bài thì phương trình $x^{2}=m$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow  m>0$.