Giải hoạt động 6 trang 52 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Hoạt động 6. Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx$ và |MF1 – MF2| = 2a, chứng minh:
$MF1=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|; MF2=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$
- Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF1 > MF2. Khi đó: MF1 – MF2 = |MF1 – MF2| = 2a.
Ta có: $MF1^{2}-MF2^{2}=4cx \Rightarrow (MF1+MF2)(MF1-MF2)=4cx\Rightarrow (MF1+MF2)2a=4cx$
$\Rightarrow MF1+MF2=\frac{4cx}{2a}=\frac{2c}{a}x$.
Khi đó: $(MF1+MF2)+(MF1-MF2)=\frac{2c}{a}x+2a \Rightarrow 2MF1=\frac{2c}{a}x+2a$
$\Rightarrow MF1=a+\frac{c}{a}x=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|$
$(MF1+MF2)-(MF1-MF2)=\frac{2c}{a}x-2a \Rightarrow 2MF2=\frac{2c}{a}x-2a$
$\Rightarrow MF2=\frac{c}{a}x-a=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$
- Nếu điểm M thuộc nhánh bên trái trục Oy thì MF1 < MF2. Khi đó: MF1 – MF2 =- |MF1 – MF2| = -2a.
Ta có: $MF1^{2}-MF2^{2}=4cx \Rightarrow (MF1+MF2)(MF1-MF2)=4cx\Rightarrow (MF1+MF2)(-2a)=4cx$
$\Rightarrow MF1+MF2=\frac{4cx}{2a}=-\frac{2c}{a}x$.
Khi đó: $(MF1+MF2)+(MF1-MF2)=-\frac{2c}{a}x+(-2a) \Rightarrow 2MF1=-\frac{2c}{a}x-2a$
$\Rightarrow MF1=-(a+\frac{c}{a}x)=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|$
$(MF1+MF2)-(MF1-MF2)=-\frac{2c}{a}x-(-2a) \Rightarrow 2MF2=-\frac{2c}{a}x-2a$
$\Rightarrow MF2=a-\frac{c}{a}x=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$
Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có $MF1=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|; MF2=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$
Xem toàn bộ: Giải chuyên đề toán 10 cánh diều bài 2 Hypebol
Bình luận