Giải bài tập 1 trang 56 Chuyên đề toán 10 cánh diều

a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là $F1(–3; 0) \Rightarrow  c = 3.$
• Hypebol có một đỉnh là $A2(2;0) \Rightarrow  a = 2  \Rightarrow  b^{2} = c^{2} – a^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là $A2(4; 0) \Rightarrow  a = 4.$
• Hypebol có tiêu cự là $10 \Rightarrow  2c = 10 \Rightarrow  c = 5 \Rightarrow  b^{2} = c^{2} – a^{2} = 5^{2} – 4^{2} = 9.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một tiêu điểm là $F2(4; 0) \Rightarrow  c = 4.$
• Hypebol có một đường tiệm cận là $y= - \frac{\sqrt{7}}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{a^{2}}{9}=\frac{b^{2}}{7}\frac{a^{2}+b^{2}}{9+7}=\frac{c^{2}}{16}=\frac{4^{2}}{16}=1\Rightarrow a^{2}=9,b^{2}=7$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$