Giải câu 8 bài Ôn tập cuối năm

• Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
• Bước 1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)
• Bước 2: Giả thuyết bài toán đúng với \(n = k\)  (gọi là giả thiết quy nạp)
• Bước 3. Chứng minh bài toán đúng v4ới \(n = k + 1\)

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

• Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:

 \({1} + {3} + {5} + ... + {2n-1} = n^2(1)\)

Giải

• Khi \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng $1^2$. Vậy hệ thức (1) đúng.
• Đặt vế trái bằng $S_n$
• Giả sử (1) đúng khi \(n = k\geq 1\), tức là:

 \(S_k=1+3+5+...+(2k-1) =k^2\)(giả thiết quy nạp)

• Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:

 \(S_{k+1}=1+3+5+...+(2k-1) +[(2(k+1)-1]=(k+1)^2\)

• Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(S_{k+1}=S_k+[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2\)

• Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).

Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)