Giải câu 3 bài Ôn tập cuối năm

• Phương trình lượng giác dạng cơ bản:
• \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \)
• \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha ,k \in \mathbb Z \)
• \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \)
• \(\cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \)

Hoặc:

• \(\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \)
• \(\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \arccos a,k \in \mathbb Z \)
• \(\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi ,k \in \mathbb Z \)
• \(\cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi ,k \in \mathbb Z\)
• Phương trình dạng : \(a \sin x + b \cos x = c\) (*)

Cách giải:

• Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

 Phương trình ban đầu tương đương với \({a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**)\)

Ta có: \({\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\)

Đặt \(\cos \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha  = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

• Khi đó phương trình (**) tương đương

\(\sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

Đây là dạng phương trình cơ bản nên ta có thể giải được.