Giải Bài tập 9 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên $SM\perp AB$. Mà $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SM \perp (ABCD)$

Suy ra: $SM \perp NC$

Ta có tam giác AMD và tam giác DNC bằng nhau nên $\widehat{AMD}=\widehat{CND}$

mà $\widehat{AMD}+\widehat{ADM} = 90^{o}$ nên $\widehat{CND}+\widehat{ADM} = 90^{o}$

suy ra tam giác DNE vuông tại E. Hay $DM \perp NC$

Mà $SM \perp NC$ nên $NC \perp (SMD)$

Vậy $(SNC) \perp (SMD)$

b) Kẻ $MK \perp (SE)$

Vì $NC \perp (SMD)$ nên $NC \perp MK$. Suy ra $MK \perp (SNC)$

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DE là đường cao nên $\frac{1}{DE^{2}}=\frac{1}{DN^{2}}+\frac{1}{DC^{2}}$. Suy ra $DE = \frac{a\sqrt{5}}{5}$

$DM = \sqrt{AM^{2}+AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$ME = MD - DE = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$

$SM \perp (ABCD)$ nên $SM \perp ME$

Tam giác SME vuông tại M có MK là đường cao nên $\frac{1}{MK^{2}}=\frac{1}{SM^{2}}+\frac{1}{ME^{2}}$. Suy ra $MK = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$