Giải bài tập 4 trang 56 Chuyên đề toán 10 cánh diều

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)

$\Rightarrow c=10\Rightarrow a^{2}-b^{2}=c^{2}=100$ (1)

• Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)

$\Rightarrow M(8;6)\in  (E) \Rightarrow \frac{8^{2}}{a^{2}}+\frac{6^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{64}{a^{2}}+\frac{36}{b^{2}}=1$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{64}{b^{2}+100}+\frac{36}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{64b^{2}+36(b^{2}+100)}{(b^{2}+100)b^{2}}$

$\Rightarrow 64b^{2}+369b^{2}+1000=(b^{2}+100)b^{2}$

$\Rightarrow 100b^{2}+3600=b^{4}+100b^{2}\Rightarrow b^{4}=3600\Rightarrow b^{2}=60\Rightarrow a^{2}=160$

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{160}+\frac{y^{2}}{60}=1$