Giải bài tập 3.19 trang 37 SBT toán 8 tập 1 kết nối:

a) Hình bình hành AEID có $\widehat{ADI}=\widehat{DAE}=180^{o}$ (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có: $\widehat{DAE}+\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=360^{o}$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A

=> $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360^{o}-90^{o}-90^{o}=180^{0}$

Vậy $\widehat{ADI}=\widehat{BAC}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).

b) Giả sử AI cắt BC ở H .

Ta có: $\widehat{DAI}+\widehat{DAB}+\widehat{BAH}=180^{o}$ mà $\widehat{DAB}=90^{o}$ (do ∆DAB vuông cân tại A)

=> $\widehat{DAI}+\widehat{BAH}=90^{o}$

Mà $\widehat{DAI}=\widehat{ABC}$ (do ∆ADI = ∆BAC) nên $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^{o}$

Trong ∆ABH có: $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}+\widehat{AHB}=180^{o}$

=> $\widehat{AHB}=90^{o}$   hay AI ⊥ BC.

c) Ta có: $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90^{o}$ và $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+90^{o}$

Do đó: $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$

Xét ∆BAE và ∆DAC có:

AB = AD; $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$ , C = AE

Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)

=> $\widehat{EBA}=\widehat{CDA}$

Gọi J là giao của DC và BE, ta có $\widehat{JBA}=\widehat{DPA}$

Gọi P là giao điểm của AB và CD.

Tam giác ADP vuông tại A nên $\widehat{PDA}+\widehat{DPA}=90^{o}$

mà $\widehat{PDA}=\widehat{JBP}$ và $\widehat{DPA}=\widehat{BPJ}$ (đối đỉnh)

Do đó $\widehat{JBP}+\widehat{BPJ}=90^{o}$ => $\widehat{PJB}=90^{o}$ ay CD vuông góc với BE.

d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\widehat{DAK}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=45^{o}$

Khi đó $\widehat{ABK}=\widehat{BAK}=45^{o}$ nên DABK vuông cân tại K, do đó KA = KB

Ta có: $\widehat{KAI}=\widehat{DAK}+\widehat{DAI}=45^{o}+\widehat{DAI}=45^{o}+\widehat{ABC}$ (do DABD vuông cân tại A)

Do đó: $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$

Xét DAKI và ∆BKC có:

AK = BK, $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$ , AI = BC (do ∆ADI = ∆BAC)

Suy ra ∆AKI = ∆BKC (c.g.c) nên KI = KC và 

Ta có: $\widehat{AKC}+\widehat{BKC}=90^{o}$

mà $\widehat{AKI}=\widehat{BKC}$ nên $\widehat{AKC}+\widehat{AKI}=90^{o}$ hay $\widehat{IKC}=90^{o}$ nên KI và KC vuông góc.