Giải bài tập 2.29 trang 40 SBT toán 11 tập 1 kết nối

Gọi $u_{n}$ là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{4}$ nên $u_{1} = 2.\frac{1}{2}.(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2^{2}}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_{2}=2.\frac{1}{2}.(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2^{3}}$

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_{3}=\frac{a^{2}}{2^{4}}$

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (un) là cấp số nhân với $u_{1}=\frac{a^{2}}{2^{2}}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$

Với a = 16 cm thì $u_{1}=\frac{16^{2}}{2^{2}}=64$ cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

$S_{5}=u_{1}\frac{1-q^{5}}{1-q}=64.\frac{1-(\frac{1}{2})^{5}}{1-\frac{1}{2}}=124$ $(cm^{2})$.