Giải bài tập 2 trang 32 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo

Với n = 1, ta có 5(2.1 )– 1 = 24 ⁝ 24. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

 Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1,

nghĩa là có: $5^2k$ – 1 ⁝ 24.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1,

nghĩa là cần chứng minh:

$5^{2(k+1)}$– 1 ⁝ 24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$5^{2(k+1)}$ – 1 = $5^{2k+2)}$ – 1 = 25 . $52^k$ – 1 = 24 .$5^2k$ + $5^{2(k+1)}$

Vì 24 . 52k và (52k – 1) đều chia hết cho 24

nên 24 .$5^2k$ + ($5^(2k)$ – 1) ⁝ 24

hay $5^{2(k+1)}$ – 1 ⁝ 24.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b,  Với n = 1, ta có 13 + 5 . 1 = 6 ⁝ 6. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1,

nghĩa là có: $k^3$ + 5k ⁝ 6.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

 Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2,

do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.

Do đó ($k^3$ + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6,

suy ra ($k^3$ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⁝ 6

hay $(k + 1)^3$ + 5(k + 1) ⁝ 6.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.