Giải Bài tập 1.21 trang 39 sgk Toán 11 tập 1 Kết nối

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s$^{2}$ nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là $y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha $ hay $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha $

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha $

$\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0 $

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}$

Gọi $\beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$  là góc thỏa mãn $\beta =\frac{539}{625}$. Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi $ hoặc $2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi $ hoặc $\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)$

c) Hàm số $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha $ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

$\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.$

Hay $\left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}$

Ta có $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}$, dấu “=” xảy ra khi sin$^{2}$ α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.