Giải chi tiết bài tập 14 trang 89 sgk toán 12 tập 2 cd

a)

Để xác định tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar, ta cần tìm tọa độ của điểm mà máy bay bắt đầu đi vào phạm vi 417 km từ đài kiểm soát không lưu O(0,0,0).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm  A(-688; 185; 8)  và có vectơ chỉ phương  :

   Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

   Máy bay sẽ xuất hiện trên màn hình radar khi khoảng cách từ máy bay tới đài kiểm soát không lưu bằng 417 km. Ta có:

Trong đó:   

   Giải phương trình bậc hai này để tìm  t :   

Chọn nghiệm  = 3.62  (vì máy bay bay về phía đài kiểm soát nên sẽ gặp màn hình radar sớm hơn):

Vậy tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là (-359.78; 456.50; 8).

b)

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian được tính bằng cách chiếu vectơ từ điểm đó đến một điểm bất kỳ trên đường thẳng lên vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Ta có:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Giá trị  t  mà chúng ta cần là giá trị sao cho chiếu lên là vuông góc với vectơ chỉ phương

Điều này xảy ra khi tích vô hướng của vectơ  và vectơ chỉ phươngbằng 0:

Tọa độ điểm gần đài kiểm soát nhất:

Vậy tọa độ của vị trí máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là (-369.5, 447.5, 8).

Khoảng cách từ điểm này đến gốc tọa độ (đài kiểm soát) là:

Vậy khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là khoảng 580.26 km.