CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC

1. GÓC LƯỢNG GIÁC 

a) Khái niệm góc lượng giác

HĐKP 1:

a) Cứ mỗi giây, thanh OM quay được 60$^{\circ}$ nên mỗi giây góc quay được cộng thêm 60$^{\circ}$.

b) Cứ mỗi giây, thanh OM quay được -60$^{\circ}$ nên mỗi giây góc quay được cộng thêm -60$^{\circ}$.

(Bảng dưới)

- Quy ước: Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Kết luận

- Cho hai tia Oa,Ob. 

+ Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob, kí hiệu (Oa,Ob).

- Khi tia Om quay một góc , ta nói số đo của góc lượng giác  (Oa,Ob) bằng α, kí hiệu sđ(Oa,Ob)=α.

Chú ý: Với hai tia Oa và Ob cho trước:

+ Có vô số góc lượng giác có tia đầu là Oa và tia cuối Ob.

+ Kí hiệu: (Oa,Ob).

Ví dụ 1 (SGK -tr.8)

Nhận xét: 

Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác một bội  nguyên của 360$^{\circ}$.

sđ(Oa,Ob)=$\alpha ^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z) 

Hoặc (Oa,Ob)=$\alpha ^{\circ}$+k360$^{\circ}$ (k∈Z) 

Với $\alpha ^{\circ}$ là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cưới Ob.

Ví dụ: 

sđ(Oa,Ob)=90$^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z)

Thực hành 1:

a) 60$^{\circ}$;

b) 60$^{\circ}$+2⋅360$^{\circ}$=780$^{\circ}$;

c) -300$^{\circ}$.

Vận dụng 1:

Kim phút quay 2$\frac{1}{4}$ vòng theo chiều âm nên số đo góc lượng giác là α=-2$\frac{1}{4}$.360$^{\circ}$=-810$^{\circ}$.

b) Hệ thức Chasles

HĐKP 2:

a) Số đo góc lượng giác (Oa,Ob) trong hình là 135$^{\circ}$.

Số đo góc lượng giác (Ob,Oc) trong hình là -80$^{\circ}$.

Dựa vào hình, ta có $\widehat{aOc}$=135$^{\circ}$-80$^{\circ}$=55$^{\circ}$. 

Trong hình, góc lượng giác (Oa,Oc) tương ứng với chuyển động quay theo chiều dương từ Oa đến Oc, sau đó quay thêm 1 vòng. Do đó số đo góc lượng giác (Oa,Oc) trong hình là 55$^{\circ}$+360$^{\circ}$=415$^{\circ}$.

b) Như vậy đối với ba góc trong hình, ta có tổng số đo góc lượng giác (Oa,Ob) và (Ob,Oc) chênh lệch với số đo góc lượng giác (Oa,Oc) là một số nguyên lần 360$^{\circ}$.

Kết luận

- Hệ thức Chasles: Với ba tia Oa,Ob,Oc bất kì, ta có sđ(Oa,Ob)+sđ(Ob,Oc)=sđ(Oa,Oc)+k360$^{\circ}$ (k∈Z) 

Vận dụng 2:

Vì chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau nên

$\widehat{MON}$=$\widehat{MOP}$=$\frac{1}{3}$.360$^{\circ}$=120$^{\circ}$. 

Do đó số đo các góc lượng giác (OM,ON) và (OM,OP) được vẽ trong hình lần lượt là 120$^{\circ}$ và -120$^{\circ}$.

Ta có:

(Ox,ON)  =(Ox,OM)+(OM,ON)+k360$^{\circ}$ (k∈Z)   =-50$^{\circ}$+120$^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z)   =70$^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z).

(Ox,OP)  =(Ox,OM)+(OM,OP)+k360$^{\circ}$(k∈Z)   =-50$^{\circ}$-120$^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z)   =-170$^{\circ}$+k360$^{\circ}$(k∈Z).

2. ĐƠN VỊ RADIAN

HĐKP 3:

Số đo $\widehat{AOB}$ không phụ thuộc vào đường tròn được vẽ và bằng khoảng 57$^{\circ}$.

Kết luận

Trên đường tròn bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi là một góc có số đo 1 radian.

Viết tắt: 1 rad.

$\alpha ^{\circ}$=$\frac{\pi \alpha }{180}$rad  và $\alpha $rad=$(\frac{180\alpha }{\pi })^{^{\circ}}$

Ví dụ 2 (SGK -tr.10)

Thực hành 2:

Chú ý:

+ rad có thể được viết là α. Ví dụ: $\frac{\pi }{2}$rad được viết là $\frac{\pi }{2}$.

+ (Oa,Ob)=α+k2π (k∈Z) 

Trong đó là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob.

3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

HĐKP 4:

a) (OA,OB)=$\frac{\pi }{2}$+k2π rad,k∈Z
b) A'(-1;0) và B'(0;-1).

Kết luận

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lượng giác.

- Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác (OA,OM)=α. Khi đó điểm M gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo trên đường tròn lượng giác.

Chú ý:

Các góc phần tư, kí hiệu I, II, III, IV

Ví dụ 3 (SGK -tr.11)

Thực hành 3

a) Ta có -1485$^{\circ}$=-45$^{\circ}$-4⋅360$^{\circ}$.

Vậy điểm biễu diễn góc lượng giác có số đo -1485 là điểm D trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho $\widehat{AOD}$=45$^{\circ}$. 

b) Ta có $\frac{19\pi }{4}$=$\frac{3\pi }{4}$+4π

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{19\pi }{4}$ là điểm E trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho $\widehat{AOE}$=$\frac{3\pi }{4}$.