3. VẬN DỤNG (8 câu)

Câu 1: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Giả sử trong không gian với hệ toạ độ , cho bốn vệ tinh , . Tìm toạ độ của điểm trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm lần lượt là , , , .

Câu 2: Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có toạ độ .

a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão.

b) Tại một vị trí có tọa độ thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a) hay không?

Câu 3: Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục toạ độ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có toạ độ , cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính 10 m.

a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn.

b) Tại một vị trí có tọa độ có nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm trên hay không?

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức là một mặt cầu . Xác định toạ độ tâm và bán kính của .

Câu 5: Hai quả bóng dạng hình cầu có kích thước khác nhau lần lượt đặt vào góc một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 2; 3; 1. Tính tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó.

Câu 6: Mặt cầu bán kính có tâm thuộc mặt phẳng và đi qua 3 điểm , , . Lập phương trình mặt cầu , xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu. 

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm các giá trị của để và không có điểm chung. 

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và đường thẳng với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu .