Slide bài giảng Toán 12 cánh diều Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Tóm lược nội dung

BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO

_{I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO}

Hoạt động 1: Trong không gian với hệ tọa độ (Hình 36), cho hai vecto và .

1. Biểu diễn các vecto , theo ba vecto , , .
2. Biểu diễn các vecto , , theo ba vecto , , .
3. Tìm tọa độ các vecto , , .

Trả lời rút gọn:

1.   nên .

  nên .

().

1. .

Do đó, tọa độ của vecto là .

Do đó, tọa độ của vecto là .

Do đó, tọa độ của vecto là .

Luyện tập 1: Cho , , . Tìm tọa độ của vecto .

1. Cho ba điểm , , . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.

Trả lời rút gọn:

1. , .

Do đó, .

1. , .

=> .

Do đó, hai vecto và cùng phương.

Suy ra hai đường thẳng và trùng nhau hay ba điểm , , thẳng hàng.

II. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Hoạt động 2: a,Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .

• Biểu diễn vecto theo hai vecto và .
• Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm và .

1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có trọng tâm .

• Biểu diễn vecto theo ba vecto , , .
• Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm , , .

Trả lời rút gọn:

• Vì là trung điểm của nên với điểm ta có: .
• Ta có và nên và .

.

=>  .

Do đó, .

• Vì là trọng tâm của tam giác nên với điểm ta có:

• Ta có: , và .

=> , và .

Khi đó, .

Do đó, .

Luyện tập 2: Cho ba điểm , , . 

1. Chứng minh rằng ba điểm , , khổng thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm của tam giác .

Trả lời rút gọn:

1.  , .

=> với nên hai vecto và không cùng phương.

Vậy ba điểm , , khổng thẳng hàng.

1. Gọi tọa độ điểm là . Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có:

=> , , . Vậy .

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 

Hoạt động 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các vecto , . Hãy biểu diễn các vecto , theo ba vecto đơn vị , , và tích vô hướng .

Trả lời rút gọn:

 , . 

Do đó, , .

Mà và (do là ba vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, .

Luyện tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , và . Chứng minh rằng tam giác vuông tại .

Trả lời rút gọn:

 ,

Nhận thấy , do đó

Suy ra hai vecto và vuông góc với nhau hay hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Vậy tam giác vuông tại .

IV. CÁCH TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTO CHO TRƯỚC

Hoạt động 4: a,Cho hình lập phương có , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto và . 

b, Cho hai vecto và không cùng phương. Xét vecto .

• Tính , .
• Vecto có vuông góc với cả hai vecto và hay không?

Giải chi tiết:

1. , .

Gọi tọa độ điểm là , ta có .

Vì là hình lập phương nên .

=> ↔ . Do đó, .

.

Ta thấy, ,

Vậy vecto vuông góc với cả hai vecto và .

;

;

• Vì , nên vecto vuông góc với cả hai vecto và .

Luyện tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vecto và . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Trả lời rút gọn:

 .

Chọn .

Vậy vecto vuông góc với cả hai vecto và .

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Trả lời rút gọn:

C.

.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Góc giữa hai vecto và bằng:

Trả lời rút gọn:

A.

.

=> .

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Tìm tọa độ của vecto .
2. Tìm tọa độ của vecto sao cho .

Trả lời rút gọn:

1. 
2. ↔

.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Trả lời rút gọn:

 .

Chọn , ta có vecto vuông góc với cả hai vecto và .

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ, cho , . Tính cosin của góc .

Trả lời rút gọn:

.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Chứng minh rằng ba điểm , , không thẳng hàng.
2. Tính chu vi tam giác .
3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
4. Tính .

Trả lời rút gọn:

1.  , .

=>  với , do đó hai vecto và không cùng phương.

Vậy ba điểm , , không thẳng hàng.

1.  ;

.

.

=> .

Chu vi tam giác là: .

1. Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác là .

 ; ; .

Vậy .

1.  .

Do đó hai vecto và vuông góc với nhau hay hai đường thẳng và vuông góc với nhau nên . Vậy .

Bài 7: Cho hình hộp , biết , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

Trả lời rút gọn:

1.  ,

Vì là hình hộp nên là hình bình hành, do đó:

Vì là hình hộp nên .

Chọn , vecto vuông góc với cả hai vecto và .

1. , .

Chọn , vecto vuông góc với cả hai và .

Bài 8: 

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây , , đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là .

1. Xác định công thức tính hàm số .
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
3. Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Trả lời rút gọn:

1.  18 in 45,72 cm 0,4572 m.

Gọi là trọng tâm tam giác . Vì tam giác đều nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Do đó, m.

Theo bài ra ta có nên và .

=> .

Vì vậy, tồn tại hằng số sao cho: ; ; .

=>  .

(do là trọng tâm tam giác nên ).

=> .

Mặt khác ta lại có , với là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn. Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên N.

=> , tức là .

Tam giác vuông tại (do ) nên ta suy ra

(m) với .

Do đó, , suy ra .

.

Vậy với .

1. Xét hàm số với .
2. .
3.