Slide bài giảng Toán 12 cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Tóm lược nội dung

BÀI 1: VECTO VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTO TRONG KHÔNG GIAN

I. KHÁI NIỆM VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

1. Vecto, giá và độ dài của vecto, hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng;
2. Vecto-không;
3. Hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau.

Trả lời rút gọn:

1. Vecto là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

Độ dài của vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vecto cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

1. Vecto-không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau,  là .
2. Hai vcto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto , ký hiệu là . 

Hai vecto và được gọi là hai vecto đối nhau.

Luyện tập 1: Cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vecto đó:

1. Bằng vecto ;
2. Là vecto đối của vecto .

Trả lời rút gọn:

1. Do các vecto , , cùng hướng với vecto và (tính chất hình hộp) nên .

Vậy ba vecto , , có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto .

1. Do các vecto , , ngược hướng với vecto và nên ba vecto , , là ba vecto đối của vecto .

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 2: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , .
2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 4?

Trả lời rút gọn:

1. Từ điểm , ta vec đường thẳng song song với giá của vecto , trên đường thẳng này, ta lấy điểm sao cho hai vecto và cùng hướng, đồng thời

. Tương tự ta vẽ vecto .

1. .

Vậy tổng của hai vecto và bằng vecto .

Luyện tập 2: Cho tứ diện . Chứng minh rằng .

Trả lời rút gọn:

.

.

Hoạt động 3: Cho hình hộp (Hình 6). Tìm liên hệ giữa: và ; và . Từ đó, hãy suy ra rằng: .

Trả lời rút gọn:

Vì là hình hộp nên và là các hình bình hành.

là hình bình hành nên: .

là hình bình hành nên: .

=> .

.

Luyện tập 3: Cho hình hộp . Chứng minh rằng: 

Trả lời rút gọn:

Vì là hình hộp nên ta có: , .

=> .

Hoạt động 4: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , , .
2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 7?

Trả lời rút gọn:

1. Như Hình 7.
2. Dựng hình bình hành , khi đó ta có:

Vậy tổng của hai vecto và bằng vecto .

Luyện tập 4: Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

Trả lời rút gọn:

Hoạt động 5: Nêu định nghĩa của một số thực và vecto trong mặt phẳng. 

Trả lời rút gọn:

Cho số thực và vecto . Tích của một số với vecto là một vecto, ký hiệu là , được xác định như sau:

Cùng hướng với vecto nếu , ngược hướng với vecto nếu ;

Có độ dài bằng .

Luyện tập 5: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và , là trung điểm . Chứng minh rằng:

1. ;
2. .

Trả lời rút gọn:

1. Vì là trung điểm của nên với điểm , ta có: .

: , .

Lại có là trung điểm của nên .

.

=> .

1. Vì , lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên ta có: 

, .

Vì là trung điểm nên . 

=> .

CÒN TIẾP…