Slide bài giảng Toán 12 cánh diều Bài 2: Tọa độ của vectơ

Tóm lược nội dung

BÀI 2: TỌA ĐỘ CỦA VECTO

I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

Hoạt động 1: Trong không gian, hãy vẽ:

1. Ba trục số , , vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại gốc của mỗi trục.
2. – Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

– Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

– Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

Trả lời rút gọn:

Luyện tập 1: Một căn phòng với hệ tọa độ được chọn như ở Hình 21. Cho biết bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ nào. 

Trả lời rút gọn:

Bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ .

Hoạt động 2: Cho điểm trong không gian với hệ tọa độ . Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng (Hình 22).

1. Trong mặt phẳng hãy cho biết:

• Hình chiếu của điểm trên trục hoành ứng với số nào trên trục ?
• Hình chiếu của điểm trên trục tung ứng với số nào trên trục ?

1. Hình chiếu của điểm trên trục cao ứng với số nào trên trục ?

Trả lời rút gọn:

• Hình chiếu của điểm trên trục hoành ứng với số 4 trên trục .
• Hình chiếu của điểm trên trục tung ứng với số 5 trên trục .

1. Hình chiếu của điểm trên trục cao ứng với số 3 trên trục .

Luyện tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Trả lời rút gọn:

Gọi , , .

Với , đặt , ,

• ; ; (vì nằm trên trục ). Do đó .
• ; ; (vì nằm trên trục ). Do đó .
• ; ; (vì nằm trên trục ). Do đó .

II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO

Hoạt động 3: Cho điểm trong không gian với hệ tọa độ .

1. Vẽ vecto .
2. Nêu cách xác định tọa độ của điểm .

Trả lời rút gọn:

1. Các bước vẽ vecto như sau:

• Vẽ hệ trục tọa độ .
• Lấy điểm bất kỳ trong hệ tọa độ .
• Nối với tạo thành vecto .

1. Cách xác định tọa độ của điểm :

• Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Trong mặt phẳng tọa độ , tìm hoành độ , tung độ của điểm .
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm .

Vậy .

Luyện tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Tìm tọa độ điểm .

Trả lời rút gọn:

. Do đó .

Hoạt động 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto (Hình 28). Hãy xác định điểm sao cho (Hình 29).

Trả lời rút gọn:

Cách xác định điểm :

• Từ gốc tọa độ , dựng đường thẳng song song với giá của vecto .
• Trên , lấy điểm sao cho vecto cùng hướng với vecto và .

Vậy ta được điểm thỏa mãn .

Luyện tập 4: Tìm tọa độ của các vecto , ở Hình 30.

Trả lời rút gọn:

, , mà và .

Do đó, và .

Hoạt động 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto (Hình 31). Lấy điểm sao cho .

1. Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm .
2. Biểu diễn vecto qua vecto ; vecto qua vecto ; vecto qua vecto .
3. Biểu diễn vecto theo các vecto , , .

Trả lời rút gọn:

1. , mà nên .

Do đó, . Vậy điểm có hoành độ , tung độ và cao độ .

1. ; ; .
2. Theo quy tắc hình bình hành, ta có và .

=> .

Mà . Do đó, .

Luyện tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và vecto . Hãy tìm tọa độ của:

Trả lời rút gọn:

1. .

Do đó, . Vậy .

1. .

Do đó, .

Hoạt động 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , (Hình 32).

1. Biểu diễn mỗi vecto , theo các vecto , và .
2. Tìm liên hệ giữa và .
3. Từ đó, tìm tọa độ của vecto .

Trả lời rút gọn:

1. Vì điểm có tọa độ là nên .

.

Vì điểm có tọa độ là nên .

.

1. .

.

Luyện tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có , , , .

Tìm tọa độ đỉnh của hình hộp .

Trả lời rút gọn:

.

Gọi tọa độ của điểm là

.

Vì là hình hộp nên là hình bình hành.

Do đó,

↔

Khi đó, .

.

Gọi tọa độ của điểm là , ta có .

Vì là hình hộp nên  .

Do đó, ↔ .

Vậy .

GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tọa độ của vecto là:

Trả lời rút gọn:

A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và điểm . Biết . Tọa độ của điểm là:

A.

B.

C.

D.

Trả lời rút gọn:

B.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Trả lời rút gọn:

A.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Trả lời rút gọn:

B.

.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là:

A.

B.

C.

D.

Trả lời rút gọn:

C.

Gọi tọa độ điểm là , ta có: .

Với thì .

Vậy .

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các mặt phẳng tọa độ , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Trả lời rút gọn:

Gọi , và .

Với , đặt , , . 

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

.

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

.

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

.

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Trả lời rút gọn:

Gọi , và .

Với , đặt , , . 

• ; ; (vì nằm trên trục ).

.

• ; ; (vì nằm trên trục ).

.

• ; ; (vì nằm trên trục ).

.

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có , , , . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp .

Trả lời rút gọn:

.

Gọi tọa độ của điểm là , ta có: .

Vì là hình hộp nên là hình bình hành.

Do đó, . Suy ra, ↔

Khi đó, .

.

Gọi tọa độ của điểm là , ta có .

↔ ↔

.

Gọi tọa độ của điểm là , ta có

↔ ↔

.

Gọi tọa độ của điểm là , ta có

↔ ↔

.

Bài 9: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. 

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm , , , (Hình 34).

Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19 (Nguồn: http://www.abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).

Tìm tọa độ của các điểm , và của vecto
Trả lời rút gọn:

Gọi , , , lần lượt là hình chiếu của , , , lên mặt phẳng .

Ta thấy là hình hộp chữ nhật.

Gọi là giao hai đường chéo và . Khi đó .

Vì và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm xuống điểm nên các điểm , , , thẳng hàng.

Khi đó, các điểm , , , có hoành độ và tung độ bằng nhau. 

Theo bài ra, cao độ của và lần lượt là 25 và 19.

Giả sử và . Ta có là hình hộp chữ nhật nên , suy ra cao của bằng 30. Do đó, .

,

Vì là giao hai đường chéo của hình chữ nhật nên là trung điểm của .

=> ↔ ↔ .

Do vậy, , và .