Soạn giáo án Toán 11 cánh diều Chương 6 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu phương trình mũ

- GV triển khai HĐ1 cho HS thực hiện nhóm đôi để hoàn thành các yêu cầu.

+ Sau t năm dân số gấp đôi, với r=1,14%, tức là S=2A.

+ Thay các giá trị trên vào công thức S=A.ert, từ đó suy ra phương trình đề bài yêu cầu.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện lời giải, sau đó nhận xét về ẩn và vị trí của ẩn trong phương trình.

GV khái quát kết quả và khẳng định rằng: Phương trình mà các em vừa tìm được chính là một phương trình mũ.

- HS thực hiện Ví dụ 1 nhận biết các phương trình mũ.

+ GV chỉ định 1 – 2 HS nêu đáp án.

- HS đọc và thực hiện Luyện tập 1

+ GV mời một số HS nêu đáp án

+ HS khác nhận xét, bổ sung.

- GV triển khai HĐ2 cho HS thảo luận nhóm 3 thực hiện

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng nhắc lại về cách vẽ đồ thị hàm số y=3x và vẽ đồ thị hàm số.

+ GV vẽ thêm đường thẳng y=7 lên đồ thị hàm số y=3x và đặt câu hỏi: Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số y=3x với đường thẳng y=7?

Từ đó GV chỉ cho HS thấy số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình 3x=7.

- GV giới thiệu và trình bày cho HS về phương trình mũ cơ bản ẩn x theo khung kiến thức SGK.

- GV giảng cho HS thấy nếu số mũ x của phương trình là một hàm số f(x) thì fx=b .

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2

a) Phương trình có dạng afx=b, áp dụng trực tiếp công thức fx=b để biến đổi phương trình thành 2x-3=5 .

+ Từ đó thực hiện chuyển vế và tìm ẩn x.

b) Áp dụng công thức am+n=am.an chuyển 10x+1=10.10x

+ Thực hiện phép tính ta được: 10x=1

+ Áp dụng công thức ax=b⟺x=b để biến đổi phương trình thành x=1 =0.

- HS thực hiện Ví dụ 3 theo gọi ý

+ Biến đổi 4x-2=22x-2

+ Vì cơ số bằng nhau nên ta chỉ cần xét phần mũ: 2x-2=3x+1

+ Giải phương trình trên và tìm nghiệm.

GV nhận xét: Cách giải phương trình mũ như trên được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

- HS tìm hiểu Ví dụ 4 theo hướng dẫn giải theo SGK.

- GV triển khai Luyện tập 2 cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện các yêu cầu.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải.

+ Các HS khác nhận xét và bổ sung.

+ GV chữa bài chi tiết và chốt đáp án.

NV2: Tìm hiểu phương trình lôgarit

- HS thảo luận với bạn cùng bàn thực hiện HĐ3

+ Có: pH=6,1 và H+=x, thay vào công thức pH=-log H+ .

+ GV mời 1 HS lên bảng thực hiện lời giải và nêu nhận xét về ẩn và vị trí của ẩn trong phương trình vừa tìm được.

Từ kết quả của HĐ, GV giới thiệu cho HS về phương trình lôgarit.

- HS thực hiện Ví dụ 5 để nhận biết phương trình lôgarit

+ GV chỉ định một só HS trình bày đáp án.

- HS thực hiện Luyện tập 3

+ GV mời 2 – 3 HS nêu đáp án.

- GV triển khai HĐ4 và gợi ý cho HS thực hiện các yêu cầu.

a) GV mời 1 HS lên bảng nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y=x và vẽ đồ thị.

+ GV vẽ đường thẳng y=5 vào đồ thị hàm số y=x .

b) GV đặt câu hỏi: Đồ thị hàm số y=x và đường thẳng y=5 có bao nhiêu giao điểm? 

GV khẳng định: Số giao điểm của đồ thị và đường thẳng y=5 chính là số nghiệm của phương trình x =5.

- GV giới thiệu và về phương trình lôgarit và nghiệm của phương trình lôgarit cho HS.

- GV chỉ cho HS thấy, nếu thay x bằng một đa thức fx thì fx=ab. 

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 6

+ a) Vận dụng công thức x =b⟺x=ab để biến đổi x=5 thành x=25.

+ Tương tự với câu b).

- HS thực hiện tìm hiểu Ví dụ 7 theo hướng dẫn của GV

+ GV chỉ cho HS thực hiện theo phương pháp đưa về cùng cơ số.

+ Khi phương trình có dạng b =d thì cần chú ý đến điều kiện xác định của b và d . 

GV yêu cầu HS tìm điều kiện xác định.

+ GV chỉ cho HS cách biến đổi phương trình tương đương fx =gx ⟺{fx>0      fx=g(x) . Ta chỉ cần ghi điều kiện fx>0 (hoặc gx>0).

Khi đó ta có: {3x-6>0           3x-6=2x-2

+ HS thực hiện giải phương trình trên.

- GV cho HS ghi phần Chú ý theo SGK.

- HS thực hiện đọc – hiểu Ví dụ 8 theo hướng dẫn của SGK.

- GV triển khai Luyện tập 4 cho HS thảo luận nhóm 3 thực hiện các yêu cầu 

+ Các nhóm vận dụng phương pháp đã được tìm hiểu trong Ví dụ 7 để thực hiện.

+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV chữa và giảng lại bài chi tiết cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Khái niệm, dạng phương trình mũ và phương trình lôgarit.

I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

1. Phương trình mũ

HĐ1

a) Ta có S=2A

2A=A.e1,14% .  t⟺2=e0,0114.t 

⟺ln 2 =0,0114.t 

b) Ẩn trong phương trình trên là t, nằm trong lũy thừa của số e, tức là e0,0114.t.

Khái niệm:

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

Ví dụ 1: (SGK – tr.48)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.48)

Luyện tập 1

1) 4x+1=2   ;   2) 72x=49

HĐ2

a) Ta thấy hàm số y=3x có cơ số 3>0 

+ Đồ thị của hàm số y=3x đi qua các điểm A-1;13;B0;1;C1;3;D2;9

+ Đường thẳng y=7 đi qua điểm 0;7 và song song với Ox.

b) Đồ thị hàm số y=3x giao đường thẳng y=7 tại 1 điểm M duy nhất.

=> Phương trình 3x=7 có 1 nghiệm duy nhất.

Ghi nhớ

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng ax=b a>0, a≠1

+ Nếu b≤0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu b>0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=b .

Nhận xét: Với a>0, a≠1, b>0 thì afx=b⟺fx=b .

Ví dụ 2: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK)

Ví dụ 3: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)

Chú ý:

Với a>0, a≠1 thì:

afx=agx⟺fx=gx

Ví dụ 4: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)

Luyện tập 2

a) 916-x=27x+4⟺3216-x=33x+4

⟺32-2x=3x+12⟺x=4 

b) 16x-2=0,25.2-x+4⟺24x-2=2-x.22

⟺4x-2=-x+2⟺x=2 

2. Phương trình lôgarit

HĐ3

a) Ta có: -log H+ =6,1⟺-log x =6,1

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của lôgarit.

Khái niệm

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Ví dụ 5: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Luyện tập 3

1) x+1=9 ;  

2) x2+x+1=2  

HĐ4

a) Vì hàm số x có cơ số 4>1 

+ Đồ thị hàm số y=x đi qua các điểm A14;-1;B1;0;C4;1;D8;32.

+ Đường thẳng y=5 đi qua điểm 0;5 và song song với trục Ox.

Minh họa:

b) Đồ thị hàm số y=x và đường thẳng y=5 cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất.

=> Phương trình x =5 có 1 nghiệm duy nhất.

Ghi nhớ

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng x =b a>0, a≠1

Phương tình đó có nghiệm duy nhất là x=ab

Chú ý: Với a>0, a≠1 thì fx =b⟺fx=ab.

Ví dụ 6: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Ví dụ 7: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Chú ý

Cho a>0, a≠1. Ta có:

fx=gx 

⟺{fx>0       fx=g(x)

Ví dụ 8: (SGK – tr.51)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)

Luyện tập 4

a) 2x-4 +(x-1) =0

⟺{x>2                   2x-4=x-1 ⟺{x>2 x=3  (tmđk) 

Vậy nghiệm của phương trình là x=3.

b) x +x =3

ĐKXĐ: x>0

⟺x +x =3 

⟺x +x12 =3 

⟺x.x12=3   

⟺x32 =8  

⟺x=4 (tmđk)

Vậy nghiệm của phương trình là x=4.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu về bất phương trình mũ

- GV triển khai HĐ5 cho HS quan sát hình 11 và gợi ý thức hiện:

+ HS nhắc lại tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ y=12x

+ Hoành độ giao điểm của hàm số y=12x và đường thẳng y=2 là gì? 

GV có thể hướng dẫn: Vì hoành độ giao điểm của y=12x và y=2 là điểm có hoành độ là -1. Nên phương trình 12x=2 có nghiệm là x=-1. Vậy để 12x>2 thì  x<-1.

GV khái quát lại đáp án và giới thiệu khái niệm bất phương trình mũ cho HS.

- HS thực hiện Ví dụ 9 để nhận dạng các bất phương trình mũ.

+ GV gọi 1 HS nêu đáp án.

- GV chỉ định 2 -3 HS trả lời nhanh Luyện tập 5.

- GV hướng dẫn HS từng bước để đưa ra cách giải bất phương trình mũ, công thức nghiệm của bất phương trình mũ theo khung kiến thức SGK.

- GV dẫn dắt: Nếu trong trường hợp bất phương trình có cùng cơ số thì ta chỉ cần xét đến số mũ của chúng.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 10

a) Ta thấy bất phương trình có b>0, a>1, nên ta áp dụng công thức nghiệm x>b .

5x>12⟺x>12 , từ đó ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình.

b) Nhận thấy bất phương trình có b>0, 0<a<1, nên ta áp dụng công thức nghiệm x<b .

0,3x+1>1,7⟺x+1<1,7  

HS kết luận về tập nghiệm.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, phân tích đề bài của Luyện tập 6 và thực hiện giải.

+ GV quan sát các nhóm thực hiện và hỗ trợ nếu cần.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện; các HS khác nhận xét.

+ GV chữa bài chi tiết cho HS.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 1 để hiểu được cách giải một bài toán thực tế gắn với bất phương trình.

+ Ta có dân só ước tính 2021 là A=98 564 407 người; Tỉ lệ gia tăng là r=0,93%=0,0093.

+ Dân số vượt quá 110 triệu người tức là: S>110 000 000

+ Áp dụng và thay các giá trị vào công thức S=A.ert ta có:

98 564 407.e0,0093t>110 000 000 

+ Thực hiện giải bất phương trình ta sẽ tính được năm mà dân số vượt quá 110 triệu người.

NV2: Tìm hiểu bất phương trình lôgarit

- GV triển khai HĐ6 cho HS quan sát Hình 12 và đọc yêu cầu của HĐ.

+ GV chỉ định 1 HS nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số lôgarit ?

+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x và đường thẳng y=1 là gì? 

+ Vậy để x >1 tức là y>1 thì x phải lớn hơn bao nhiêu? 

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện bài giải.

- HS thực hiện Ví dụ 12 nhận dạng các bất phương trình lôgarit

+ GV chỉ định 1 HS nêu đáp án.

- GV mời một số HS trả lời nhanh Luyện tập 7.

- GV hướng dẫn HS từng bước giải bất phương trình lôgarit, công thức nghiệm của bất phương trình lôgarit theo khung kiến thức SGK.

- GV lưu ý cho HS khi bất phương trình có cùng dấu  thì ta chỉ cần xét số mũ của a.

- GV hướng dẫn HS giải các bất phương trình trong Ví dụ 13

a) Ta thấy 0<12<1, nên áp dụng công thức nghiệm ta có:

x >-2⟺0<x<12-2 , từ đó HS giải ra nghiệm của bất phương trình.

b) Thấy rằng 2>1, nên áp dụng công thức nghiệm ta có: 

x+1 >3⟺x+1>23 , từ đó HS giải ra nghiệm của bất phương trình.

- HS thực hiện thảo luận nhóm đôi, áp dụng phương pháp trong Ví dụ 13 để hoàn thành Luyện tập 8

+ GV quan sát, hỗ trợ nếu cần.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải, GV chữa bài chi tiết cho HS.

-  GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 14

+ Để tính được cường độ âm I dưới bao nhiêu W/m2 thì ta cần xét L<60 dB

+ Tức là 10log I10-12 <60

HS giải bất phương trình trên để tìm giá trị của I.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Khái niệm về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit; 

+ Cách giải bất phương trình mũ và phương trình lôgarit.

II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ

HĐ5

+ Hàm số y=12x nghịch biến trên R.

+ Quan sát đồ thị ta thấy, để 12x>2 thì x<-1.

Khái niệm

+ Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

+ Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong các dạng sau:

ax>b;ax<b;ax≥b;ax≤b

(a>0, a≠1)

Ví dụ 9: (SGK – tr.51)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)

Luyện tập 5

1) 3x≥9 ;  2) 4x-1<14

Cách giải bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ: ax>b a>0, a≠1

+ Nếu b≤0, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R (vì ax>0≥b, ∀x∈R).

+ Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với ax>ab

• Với a>1, nghiệm của bất phương trình là x>b

• Với 0<a<1, nghiệm của bất phương trình là x<b .

Chú ý: 

+ Với a>1 thì ax>a⟺x>α

+ Với 0<a<1 thì ax>a⟺a<α

 Ví dụ 10: (SGK – tr.52)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52)

Luyện tập 6

a) 7x+3<343⟺x+3<343

⟺x<343 -3⟺x<0 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -∞;0.

b) 14x≥3⟺x≤3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞;3 ].

Ví dụ 11: (SGK – tr.52)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)

2. Bất phương trình lôgarit

HĐ6

- Hàm số y=x đồng biến trên tập xác định.

- Quan sát đồ thị ta thấy, để x >1 thì x>2.

Ví dụ 12: (SGK – tr.53)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)

Luyện tập 7

1) log x >1 ;  2) (x+1) ≤6

Cách giải bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình x >b, a>0, a≠1

Bất phương trình tương đương với x >ab

+ Với a>1, nghiệm của bất phương trình là x>ab

+ Với 0<a<1, nghiệm của bất phương trình là 0<x<ab.

Chú ý:

+ Với a>1 thì x > ⟺x>α

+ Với 0<a<1 thì x > ⟺x<α 

Ví dụ 13: (SGk – tr.54)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)

Luyện tập 8

a) x <2⟺0<x<32⟺0<x<9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0;9.

b) x-5 ≥-2⟺0<x-5≤14-2

⟺0<x-5≤16⟺5<x≤21 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5;21]

Ví dụ 14: (SGK – tr.54)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)