Soạn giáo án Toán 11 cánh diều Chương 6 Bài 2: Phép tính lôgarit

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH=-log H+ với H+ là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10-4, ước dừa là 10-5 (nồng độ tính bằng mol L-1).

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu định nghĩa lôgarit

- GV triển khai HĐ1 để HS thực hiện các yêu cầu.

+ Biến đổi 9 và 19 về dạng lũy thừa với số mũ thực.

+ Từ đó nhận xét và tìm x.

+ GV mời 1 HS lên bảng thực hiện câu a; 1 HS đứng tại chỗ trình bày câu b.

GV nhận xét, kết luận, dẫn dắt vào Định nghĩa logarit: Có đúng một số thực sao cho 3=5. Số gọi là lôgarit cơ số 3 của 5, kí hiệu là 5 . 

+ GV trình chiếu hoặc ghi bảng Định nghĩa Lôgarit

- HS áp dụng Định nghĩa thực hiện Ví dụ 1 theo hướng dẫn của SGK.

+ GV mời 1 HS tình bày lại đáp án và giải thích cách thực hiện.

- HS thực hiện độc lập Luyện tập 1

+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày bài giải.

+ HS dưới lớp nhận xét; GV chốt đáp án.

NV2: Tìm hiểu tính chất của Lôgarit

- GV triển khai HĐ2 cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện các yêu cầu theo gọi ý sau:

+ Áp dụng định nghĩa b =c để thức hiện.

+ 1 =c⟺ac=1. Từ đó suy ra được c. Tương tự với ý b) và c).

+ Vận dụng kết quả ý b) thực hiện ý c).

+ GV mời 4 HS lên bảng thực hiện.

GV nhận xét kết quả và rút ra các Tính chất của Lograrit cho HS.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2

+ ý a) 

Sử dụng công thức nam=amn để biến đổi 35=513

→ Từ đó sử dụng công thức ac =c  để tính toán:  35 =513

+ ý b) 

Ta có abc=acb để biến đổi như sau: 227 =27 2

- HS vận dụng các tính chất và phương pháp đã được tìm hiểu trong Ví dụ 2 để thực hiện Luyện tập 2

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện lời giải.

+ HS dưới lớp nhận xét bài làm của hai bạn.

NV3: Tìm hiểu Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

- GV trình chiếu, giảng giải cho HS về Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên theo khung kiến thức trong tâm.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện và hiểu được Ví dụ 3

+ ý a) Do 0,0001=10-4

Theo định nghĩa thứ nhất, ta có:

log 10-4 =10-4 =-4 

+ ý b) Theo định nghĩa thứ hai, ta có:

ln e2 =e2 =2 

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện Luyện tập 3

+ Cần xác định được rằng: Nồng độ ion Hydrogen chính là H+.

+ GV mời 1 – 2 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV chữa bài, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Định nghĩa và tính chất của lôgarit

+ Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

I. Khái niệm lôgarit

1. Định nghĩa

HĐ1

a) Vì 32=9 mà 3x=9 nên x=2

Vì 3-2=19 mà 3x=19 nên x=-2

b) Có một số thực x duy nhất để 3x=5.

Định nghĩa

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để ac=b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là b , nghĩa là

c=b ⟺ac=b

b xác định khi và chỉ khi a>0, a≠1 và b>0.

Ví dụ 1: (SGK – tr.34)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34)

Luyện tập 1

a) 8 1=4 vì 34=81.

b) 1100 =-2 vì 10-2=1100.

2. Tính chất

HĐ2

a) 1 =c⟺ac=1⟺c=0

=> 1 =0

b) a =c⟺ac=a⟺c=1

=> a =1

c) ac =b⟺ab=ac⟺b=c

=> ac =c

d) ab =c⟺b =c ⟺b=c

=> ab =b

Tính chất

Với số thực dương a khác 1, số thực dương b và số thực c, ta có:

1=0 ;                       a  =1 ; 

ac=c ;                      ab =b

Ví dụ 2: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 2

a) 516 =4215 =425 =25

b) 368 =628 =68 2=82=64

3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

Khái niệm

+ Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là log b hay lg b .

+ Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là ln b .

Ví dụ 3: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 3

Độ pH của nước cam

pH=-log H+ =-log 10-4 =4

Độ pH của nước dừa

pH=-log H+ =-log 10-5 =5

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐ3 

+ GV chỉnh định 2 HS lên bảng trình bày bài giải.

+ HS dưới lớp nhận xét.

GV chốt đáp án và giới thiệu cho HS Công thức lôgarit của một tích và lôgarit của một thương.

- HS thực hiện Ví dụ 4 theo hướng dẫn của SGK.

- GV đặt câu hỏi: Ta có b1.b2 =b1 +b2 . Nếu có n số thực dương b1, b2,…, bn thì công thức trên biến đổi như thế nào?

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện Luyện tập 4

+ ý a) và c) Sử dụng công thức Lôgarit của một tích.

+ ý b) Sử dụng công thức Lôgarit của một thương.

NV2: Tìm hiểu logarit của một lũy thừa

- GV triển khai HĐ4, cho HS thực hiện theo các gợi ý sau:

+ Có ab =b Từ đó áp dụng cho ab .

+ Đặt b =y, theo định nghĩa lôgarit thì b bằng gì? Từ đó biến đổi ab theo y để được ab =b.

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện bài toán và nêu nhận xét ý b.

+ GV chốt đáp án.

Từ kết quả của HĐ4 GV hướng dẫn cho HS nhận thấy hai biểu thức đó cùng là lũy thừa cơ số a≠1 bằng nhau nên số mũ của hai lũy thừa đó cũng bằng nhau.

+ GV ghi bảng công thức Lôgarit của một lũy thừa. HS ghi nhớ công thức.

- GV giảng giải cho HS trường hợp đặc biệt, với α=1n.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 5

+ Áp dụng trực tiếp công thức
b =αb biến đổi 92 thành 2.23 .

+ Sử dụng b =b biến đổi 23 =32

• Dùng m -n =mn để biến đổi 15 -32 =5

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 5

+ Sử dụng công thức b =b để tính toán.

+ GV quan sát các nhóm thực hiện và chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài giải.

NV3: Tìm hiểu về cách đổi cơ số lôgarit

- GV triển khai HĐ5 cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện yêu cầu.

+ Từ công thức c=bc , lấy lôgarit hai vế theo cơ số a, rồi áp dụng công thứ lôgarit của một lũy thừa để thu được đẳng thức c =c .b .

Từ kết quả của HĐ5 GV cho HS thựa hiện khái quát và nêu công thức đổi cơ số.

+ GV chính xác hóa đáp án bằng cách ghi bảng công thức trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV hướng dẫn HS công thức đổi cơ số viết dưới dạng tích, thương và một số trường hợp đặc biệt theo SGK.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 6

+ Áp dụng công thức b =1b để biến đổi 3 =3 =123

- HS thực hiện Luyện tập 6 và đối chiếu đáp án với bạn cùng bàn.

+ Sử dụng liên tiếp công thức b =1b và b =b biến đổi 64 .

+ Sau đó áp dụng công thức ab =b để được kết quả cuối cùng.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Lôgarit của một tích, một thương.

+ Lôgarit của một lũy thừa.

+ Công thức đổi cơ số.

II. Một số tính chất của phép tính lôgarit

1. Lôgarit của một tích, một thương

HĐ3

a) (mn) =27.23 =210 =10

m +n =27 +23 =7+3=10 

Ta thấy (mn) =m +n

b) mn =2723 =24 =4

m -n =27 -23 =7-3=4 

Ta thấy mn =m -n

Công thức

Với ba số thực dương a, m, n và a≠1, ta có:

+ (mn) =m +n ;

+ mn =m -n .

+ 1b =-b   a>0, a≠1, b>0

Ví dụ 4: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Chú ý:

Với n số tực dương b1, b2, …, bn:

b1b2bn =b1 +b2 +… 

+bn  a>0, a≠1 

Luyện tập 4

a) ln 5+2 +ln 5-2 =ln 1 =0

b) log 400 -log 4 =log 4004 =2

c) 8 +12 +323 =8.12.323

=5 

2. Lôgarit của một lũy thừa

HĐ4

a) Ta có: ab =b

Vậy ab =b

• Đặt b =y => b=ay

Có ab =aα.y=ay=b

Vậy ab =b 

b) Từ kết quả phần a) ta có:

b =αb

Ghi nhớ

Cho a>0, a≠1, b>0. Với mọi số thực , ta có:

b =αb

Cho a>0, a≠1, b>0. Với mọi số nguyên dương n≥2, ta có:

nb =1nb

Ví dụ 5: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Luyện tập 5

25 -50 +1236  

=52 -50 +3612  

=2550 . 6 =1 

3. Đổi cơ số của lôgarit

HĐ5

a) Ta có: c=bc ⟺c =bc

⟺c =c  .b (đpcm)

b) Từ c =c  .b  

suy ra c =c b

Ghi nhớ

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có:

c =c b

Nhận xét

Với a>0 và a≠1, b>0 và b≠1, c>0, α≠0, ta có những công thức sau:

+ b  .c =c

+ b =1a ;  

+ b =1b  

Ví dụ 6: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37)

Luyện tập 6

Xét 64 , ta có:

64 =43 =1343 =343  

=4  

=> 54 =4

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu, hướng dẫn cho HS về cách sử dụng MTCT để tính lôgarit.

- GV hướng dẫn cho HS bấm máy tính theo bảng trong SGK.

- GV lưu ý cho những HS sử dụng MTCT mà không có phím .

- HS thực hiện bấm máy tính thực hiện Ví dụ 6

+ HS phải nhớ được rằng pH=-log H+  

- GV cho HS thực hiện Luyện tập 7

+ GV mới 2 HS trình bày đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Sử dụng MTCT để tính lôgarit

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tính Lôgarit

Chú ý: Với máy tính không có phím thì để tính 3 , ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.

Ví dụ 6: (SGK – tr.38)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38)

Luyện tập 7

19 ≈1,5131 

26 ≈1,3587