Soạn giáo án Toán 11 cánh diều Chương 4 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi HĐ 1, dựa vào kiến thức đã học.

- GV cho HS tìm hiểu về vị trí của hai đường thẳng phân biệt trong không gian.

+ Phân biệt bằng số điểm chung của hai mặt phẳng để xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

- Từ đó có khái niệm hai mặt phẳng song song.

- GV cho HS nêu một số hình ảnh song song trong thực tế, làm Luyện tập 1.

- HS đọc Ví dụ 1, GV hướng dẫn cách chứng minh hai mặt phẳng song song theo định nghĩa.

+ Giả sử hai mặt phẳng có đường thẳng chung là d, chứng minh điều giả sử sai.

- HS thảo luận nhóm đổi, thực hiện HĐ 2.

- Từ kết quả của HĐ 2, có định lí 1 là dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song.

+ Lưu ý: hai đường thẳng a, b phải cắt nhau.

- GV có thể hướng dẫn cho HS cách chứng minh định lí 1:

+ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng a và b.

+ Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.

+ Khi đó: a // (Q); a ⊂ (P); (P) ∩ (Q) = c suy ra a//c

Tương tự b//c

+ Vậy qua M có hai đường thẳng a, b cùng song song với c nên mâu thuẫn.

- HS thực hiện Ví dụ 2, giải thích.

- Áp dụng định lí HS làm Luyện tập 2

+ Vận dụng tính chất trung điểm chứng minh 2 trong 3 cạnh của tam giác IJK song song với mặt (BCD). 

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Hai mặt phẳng song song 

HĐ 1
Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. Các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Nhận xét

Đối với hai mặt phẳng phân biệt P và Q trong không gian, có hai khả năng:

+ Hai mặt phẳng P và Q có điểm chung. Khi đó chúng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng.

+ Hai mặt phẳng P và Q không có điểm chung. Khi đó, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu (P)//(Q)(hoặc (Q)/P.

Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Luyện tập 1

Hình ảnh hai mặt phẳng song song

Các mặt sàn của ngôi nhà nhiều tầng; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

Ví dụ 1 (SGK -tr.106)

II. Điều kiện và tính chất

HĐ 2

Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có đường thẳng chung d.

Ta có:  a // (Q); a ⊂ (P); (P) ∩ (Q) = d.

Suy ra a // d.

Tương tự ta cũng có b // d.

Mà a, b, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a // b // d hoặc a trùng b, mâu thuẫn với giả thiết a, b cắt nhau trong (P).

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung hay (P) // (Q).

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song)

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với Q.

Ví dụ 2 (SGK -tr.106)

Luyện tập 2.

+) Xét AMP có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP nên IK là đường trung bình

Do đó IK // MP.

Mà MP ⊂ (BCD) nên IK // (BCD).

+) Xét ∆ANP có J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP nên JK là đường trung bình

Do đó JK // NP.

Mà NP⊂(BCD) nên JK // (BCD).

+) Ta có: IK // (BCD); JK // (BCD);

           IK∩JK=K; IK,JK⊂((IJK)

Suy ra (IJK) // (BCD).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thực hiện HĐ 3.

- Từ kết quả HĐ 3, khái quát: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho?

+ HS phát biểu định lí 2.

- GV dẫn dắt để hình thành hệ quả

+ Nếu ta thay điểm M trong HĐ 3 bởi đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với (P)?

+ Có hay không hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) mà cùng song song với mặt phẳng R? Vì sao?

- HS thực hiện HĐ 4. 

- HS phát biểu lại kết quả nhận được khi thực hiện các nhiệm vụ. HS tiếp nhận, ghi nhớ định lí 3.

+ Lưu ý: định lí thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng song song.

- Ví dụ 3: HS sử dụng định lí 1 và định lí 3.

- HS làm Luyện tập 3: sử dụng định lí 3, chứng minh hai đường song song.

- HS làm HĐ 5.

+ a) sử dụng định lí 3 để chứng minh hai đường song song.

+ Vận dụng định lí Thales trong tam giác để chứng minh các tỉ số bằng nhau.

- HS phát biểu khái quát định lí Thales.

- Ví dụ 4: HS vận dụng định lí vừa học để tính độ dài.

- Luyện tập 4: kiểm tra phát biểu đúng sai dựa vào định lí Thales.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. 

HĐ 3

a) Ta có: a // a’ mà a’ ⊂ (Q) nên a // (Q);

  b // b’ mà b’ ⊂ (Q) nên b // (Q).

Do a // (Q); b // (Q);

a, b cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (P).

Suy ra (P) // (Q).

b) 

+ Ta có R và P cùng đi qua điểm M và song song với a' nên R và P cắt nhau theo giao tuyến đi qua M và song song với a'.

Giao tuyến đó là đường thẳng a, vậy a⊂R.

Tương tự chứng minh được bR.

Vậy (P) trùng (R ) vì cùng chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau.

Định lí 2 (Tính chất về hai mặt phẳng song song)

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. 

Hệ quả 1

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

HĐ 4

a) 

(P) // (Q) và (R) ∩ (P) = a nên (R) // (Q) hoặc (R) cắt (Q).

Giả sử (R) // (Q).

Khi đó qua đường thẳng a có hai mặt phẳng song song với (Q) là mặt phẳng (P) và (R) nên hai mặt phẳng này trùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P).

Vậy (R) cắt Q.

b) Ta có: a ⊂ (P); b ⊂ (Q) mà (P) // (Q) nên a và b không có điểm chung.

Lại có hai đường thẳng a và b cùng nằm trên mp(R)

Do đó a // b.

Định lí 3

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Nếu mặt phẳng R cắt mặt phẳng P thì cũng cắt mặt phẳng (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

Ví dụ 3 (SGK -tr.107)

Luyện tập 3

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A,A' ∈ (R) và A.A' ∈ (P) 

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q); (R) ∩ (P) = AA’; (R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

III. Định lí Thalès

HĐ 5

a) Ta có: B,B1 ∈ ACC’và B, B1 ∈ (Q) 

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB1.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R); (ACC’) ∩ (Q) = BB1; (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB1 // CC’.

Chứng minh tương tự: B1B’ // AA’.

b) 

+)  Ta có: B1//CC' nên theo định lí Thalès

ABAC=AB1AC', suy ra ABAB1=CAC'A

BCAC=B1C'AC', suy ra BCB1C'=CAC'A.
Do đó ABAB1=BCB1C'=CAC'A.
+) Ta có: B1B'//AA' nên theo định lí Thalès

AB1AC'=A'B'A'C', suy ra AB1A'B'=C'AC'A'

B1C'AC'=B'C'A'C', suy ra B1C'B'C'=C'AC'A'.
Do đó AB1A'B'=B1C'B'C'=C'AC'A'.

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

ABAC=AB1AC' và AB1AC'=A'B'A'C' nên ABAC=A'B'A'C'=AB1AC'
Do đó ABA'B'=CAC'A'.
BCAC=B1C'AC' và B1C'AC'=B'C'A'C' nên BCAC=B'C'A'C'=B1C'AC'
Do đó BCB'C'=CAC'A'.
Vậy ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'.

Kết luận: Định lí Thalès

Nếu a. b là hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng song song P, Q, R lần lượt tại các điểm A, B, C và A',B',C' thì

ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'

Ví dụ 4 (SGK -tr.109)

Luyện tập 4

Theo định lí Thalès, nếu a,b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P),(Q),(R) lần lượt tại các điểm A,B,C và A',B',C' thì ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'.
Do đó ABA'B'=ACA'C'.
Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng ABBC=ACA'C'
Mà do BCA'B' nên phát biểu của bạn Minh là sai.