Soạn giáo án Toán 11 cánh diều Chương 5 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1). Xét các biến cố ngẫu nhiên sau:

A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”.

B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”.

C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”.

Biến cố C có liên hệ như thế ào với hai biến cố A và B?

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu biến cố hợp

- GV tổ chức HĐ1 cho HS theo luận theo nhóm đôi, đọc và thực hiện các yêu cầu của HĐ.

+ GV chỉ định 1 HS trình bày đáp án câu a) và 3 – 4 HS nêu ý kiến phát biểu cho câu b. 

+ Các HS khác cho ý kiến nhận xét.

GV chốt đáp án và dẫn dắt HS vào Khái niệm Biến cố hợp.

+ GV trình chiếu, hoặc ghi bảng và giảng giải cho HS về Khái niệm Biến cố hợp.

- GV giải thích, trình bày về kết quả thuận lợi cho một biến cố và biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện thông qua phần Chú ý trong SGK.

- HS vận dụng kiến thức mục Chú ý để thực hiện tìm hiểu Ví dụ 1 theo hướng dẫn trong SGK.

+ GV chỉ định 1 HS trình bày và giải thích đáp án.

- GV triển khai Luyện tập 1 cho HS thảo luận nhoma đôi thực hiện

+ GV đặt câu hỏi gợi ý:

• Biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” là những số nào?

• Biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4” là những số

nào?

+ GV mời 2 HS trả lời câu hỏi và phát biểu biến cố C dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

NV2: Tìm hiểu về biến cố giao

- GV triển khai HĐ2 cho HS suy nghĩ và thực hiện.

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp D=A∩B?

+ Từ đó phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

- GV giới thiệu, giảng giải Định nghĩa Biến cố giao cho HS.

- GV nhắc lại định nghĩa của Biến cố hợp, sau đó nêu câu hỏi (Ví dụ) cho HS hiểu rõ hơn về Định nghĩa: Nếu biến cố A là “Quả cầu được rút ra từ hộp có màu đỏ” và Biến cố B là “Quả cầu được rút ra từ hộp có số là 1”, thì biến cố hợp là gì?

GV mời 1 – 2 HS trả lời câu hỏi.

+ GV chỉ ra rằng:

• Biến cố hợp có thể được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.

• Điều này có nghĩa là để biến cố hợp xảy ra, cả hai biến cố A và B đều phải xảy ra.

- HS thực hiện tìm hiểu, nghiên cứu Ví dụ 2 theo SGK theo bạn cùng bàn sau đó trình bày lại vào vở.

- HS thảo luận nhóm đôi theo bàn, vận dụng Định nghĩa vào thực hiện Luyện tập 2

+ Liệt kê các số chấm ở biến cố A và B

+ HS phát biểu biến cố A∩B?

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

NV3: Tìm hiểu biến cố xung khắc

- GV cho HS nghiên cứu nội dung của HĐ3 và thảo luận nhóm đôi thực hiện các yêu cầu của HĐ.

+ GV mời 1 HS lên bảng viết các tập con A, B của không gian mẫu .

+ HS tìm tập hợp A∩B

GV chốt đáp án và giới thiệu cho HS về Định nghĩa của Biến cố xung khắc 

- GV trình bày, giải thích về Định nghĩa cho HS rằng:

• Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A∩B=∅.

• Điều này có nghĩa là không có kết quả nào có thể là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B.

• Do đó, nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không thể xảy ra, và ngược lại.

- HS đọc – hiểu Ví dụ 3 theo hướng dẫn trong SGK.

- HS vận dụng Định nghĩa của biến cố xung khắc thực hiện Luyện tập 3

+ GV mời 1 HS phát biểu đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Định nghĩa, tính chất của biến cố hợp; 

+ Định nghĩa, tính chất của biến cố giao với biến cố hợp; 

+ Định nghĩa biến cố xung khắc.

I. Phép toán trên các biến cố

1. Biến cố hợp

HĐ1

a) A=2; 4; 6,  B={3;6}

b) Biến cố C là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”

Khái niệm

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu . Đặt C=A∪B, ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A∪B.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố C, tức là C. 

Vì C=AB nên A hoặc B. Tức là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. 

Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu là “A xảy ra hoặc B xảy ra ” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A,B xảy ra”.

Ví dụ 1: (SGK – tr.16)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.16)

Luyện tập 1

Ta có:

A=3;6;9;12 và B=4;8;12

A∪B=C. Vậy biến cố C là “Số thẻ rút được là số chia hết cho 3 hoặc 4”.

2. Biến cố giao

HĐ2

Ta có: D=6

Biến cố D “Mặt 6 chấm xuất hiện ở cả biến cố A và biến cố B”.

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập hợp con của không gian mẫu . Đặt D=A∩B, ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu à A∩B hay AB.

Chú ý: 

Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố D, tức là D. 

Vì D=AB nên A và B. Nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. 

Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu là “Cả A và B cùng xảy ra”. 

Ví dụ 2: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17)

Luyện tập 2

Ta có: A=1;3;5;B=1;3;5

Biến cố A∩B “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”.

3. Biến cố xung khắc

HĐ3

Ta có:

A=1;3;5;  B=2;4;6 

AB=∅ 

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu . Nếu A∩B=∅ thì A và B gọi là biến cố xung khắc.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố A, tức là A. Vì AB=∅ nên B, tức là không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Ví dụ 3: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18)

Luyện tập 3

Biến cố A xung khắc biến cố B.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ4 và hướng dẫn, giải thích cho HS thực hiện yêu cầu.

+ Một kết quả thuận lợi cho biến cố A là xuất hiện mặt S ở lần tung thứ nhất. 

+ Một kết quả thuận lợi cho biến cố B là xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai.

+ Do đồng xu cân đối, đồng chất nên mỗi lần tung, xác suất xuất hiện mặt S và mặt N là bằng nhau 

+ Nếu lần tung thứ nhất xuất hiện mặt S, thì xác suất xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai vẫn là 12.

Vậy biến cố A và B không ảnh hưởng gì đến nhau.

GV nhận định: Biến cố A và biến cố B trong phần HĐ4 trên được gọi là hai biến cố độc lập với nhau.

+ GV giới thiệu, giảng giải cho HS về Định nghĩa Biến cố độc lập. 

- GV trình chiếu, hoặc ghi bảng phần Chú ý cho HS quan sát, ghi chép.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 4 để nắm rõ hơn Định nghĩa hai biến cố độc lập

+ ý a) Khi biến cố A xảy ra và Khi không xảy ra, thì xác suất lấy được quả bóng màu đỏ của biến cố B là bao nhiêu?

Vậy việc mà biến cố A xảy ra hay không có ảnh hưởng gì đến biến cố B không?

Xác suất xảy ra của biến cố A là bao nhiêu? Có phụ thuộc vào việc biến cố B xảy ra hay không?

+ ý b) GV mời 1 HS nhắc lại Khái niệm biến cố xung khắc và thực hiện yêu cầu của Ví dụ.

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 4

+ Viết tập con A, B và nêu xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra hoặc không xảy ra? Và ngược lại.

+ Có kết quả nào thỏa mãn cho cả hai biến cố A và B không? Nhận xét về sự xung khắc của hai biến cố?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Định nghĩa biến cố độc lập.

II. Biến cố độc lập

HĐ4

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố A là xuất hiện mặt S ở lần tung thứ nhất (xác suất là 12).

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố B là xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai (xác suất là 12).

=> Kết quả thuận lợi cho biến cố A không ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra của biến cố B.

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý

Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và B; A và B; A và B.

Ví dụ 4: (SGK – tr.18)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.19)

Luyện tập 4

* Ta có: A=2;3;5 và B=4;6

+ Khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố B đều là 26=13

+ Khi biến cố B xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố A đều là 36=12

=> Biến cố A và B độc lập với nhau.

* Biến cố A và B không xung khắc, vì có kết quả thỏa mãn của A và B.

Kết quả (3; 6) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B. Do đó A∩B≠∅. 

Vậy A và B không xung khắc

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu công thức cộng xác suất

- GV cho HS thảo luận theo từng bàn, thực hiện HĐ5 theo các bước sau.

⁕ ý a)

+ Liệt kê các phần tử của biến cố A, B?

+ Liệt kê các phân tử của biến cố A∩B và A∪B?

+ Tính PA=nAn(Ω) ?; (Với n(A) là số phần tử của biến cố A; n(Ω) là không gian mẫu). Tương tự tính P(B)?

+ Tính PA∩B=nA∩Bn  và PA∪B

=nA∪Bn ?

⁕ ý b)

+ HS thực hiện thay các giá trị đã tìm được ở phần a vào biểu thức đề bài, tính 

và nhận xét.

Từ kết quả của HĐ5, GV rút ra Định lí về công thức cộng xác suất và Hệ quả của định lí cho HS.

- HS thực hiện tìm hiểu Ví dụ 5 theo hướng dẫn trong SGK

+ Biến cố A và biến cố B có xung khắc  với nhau hau không? Tại sao?

+ GV chỉ định 1 HS trình bày lại cách thực hiện và giải thích đáp án.

- HS đọc – hiểu Ví dụ 6 và trình bày lại cách thực hiện

+ Biến cố A và B có xung khắc với nhau hay không? Tại sao?

+ Sử dụng công thức nào để tính PA∪B?

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện Luyện tập 5. 

+ Không gian mẫu n(Ω) là bao nhiêu?

+ Liệt kê các phần tử của biến cố A, B, nhận xét ?

+ Tính PA∪B ?

NV2: Tìm hiểu công thức nhân xác suất

- GV triển khai HĐ6 cho HS thực hiện các yêu cầu.

+ HS xác định không gian mẫu n(Ω), tìm xác suất xảy ra của biến cố A và B

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện các câu trả lời.

+ GV nhận xét, chữa bài và chốt đáp án.

- GV trình chiếu hoặc ghi bảng Định lí về công thức nhân xác suất cho HS.

- GV đặt câu hỏi: Nếu PA∩B không bằng PA. PB thì có nhận xét gì về hai biến cố A và B?

- GV phân tích, hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 7

+ Biến cố A: “Bạn Hạnh bắn trúng bia” và biến cố B: “Bạn Had bắn trúng bia”.

+ Xác suất của biến cố A là PA=0,6; 

+ Xác suất của biến cố B là PB=0,7

+ Nhận xét về sự độc lập của biến cố A và B?

+ Biến cố C=A∩B, ta có PC=PA.P(B)

- HS vận dụng phương pháp đã tìm hiểu trong Ví dụ 7 để thực hiện Luyện tập 6

+ HS trao đổi với bạn cùng bàn thực hiện, đối chiếu kết quả với nhau.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải

+ HS dưới lớp nhận xét bài làm của bạn.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, tìm hiểu Ví dụ 8 theo các câu hỏi gợi ý sau:

+ Xét biến cố E: “Bạn Trung lọt vào chung kết”; G: “Bạn Dũng lọt vào chung kết”.

+ Biến cố E và G có độc lập không? Xác suất của mỗi biến cố là bao nhiêu?

+ A là biến cố giao của hai biến cố E và G. Nêu công thức tính P(A) ?

+ B là biến cố hợp của biến cố E và G. Nêu công thức tính PB ?

+ Tìm biến cố đối G của G, nhận xét và giải thích biến cố C=E∩G.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Công thức: Cộng xác suất; Nhận xác suất.

III. Quy tắc tính xác suất

1. Công thức cộng xác suất

HĐ5

a) Ta có: 

A=2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20 

B={7; 14} ; 

A∩B=14  

A∪B={2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;  

20;7} 

+ PA=1020=12 ;  P(B)=220=110

+ PA∪B=1120 ;  PA∩B=120

b) Ta có: 

PA+PB-PA∩B=12+110-120=1120 

=PA∪B 

Định lí

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó PA∪B=PA+PB-PA∩B.

+ Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì A∩B=∅, suy ra PA∩B=0. Vì thế, ta có hệ quả như sau:

Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì PA∪B=PA+PB.

Ví dụ 5: (SGK – tr.19)

Hướng dẫn giải (SGk – tr.19)

Ví dụ 6: (SGK – tr.20)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.20)

Luyện tập 5

n=52 

A={7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}; 

B={11, 22, 33, 44} 

⇒A∩B=∅. Vậy A và B xung khắc với nhau.

P(A∪B)=P(A)+P(B)=752+452=1152 

2. Công thức nhân xác suất

HĐ6

a) Ta có: PA=37; PB=47; PA∩B= 37.47 = 1249

b) Ta thấy: 

PA.PB=37.47=1249=PA∩B 

Định lí

Cho hai biến cố A và B

Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì PA∩B=PA . P(B)

Chú ý: Nếu PA∩B≠PA. PB thì hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ 7: (SGK – tr.20)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.20)

Luyện tập 6

Ta có: PA=0,8; PB=0,9

Nhận thấy biến cố A và B độc lập với nhau.

PC=PA.PB=0,8 . 0,9=0,72 

Ví dụ 8: (SGK – tr.21)

Hướng dẫn giải (SGk – tr.21)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu cách Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp

- GV cho HS đọc Ví dụ 9 và thảo luận nhóm đôi tìm hiểu cách giải. GV hướng dẫn:

+ GV mời một số HS nhắc lại công thức tính số các tổ hợp Cnk?

+ Xét biến cố H: “Trong ba học sinh chọn ra có cả nam và nữ”; A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”; B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

+ A∩B bằng biến cố nào? A∪B bằng biên cố nào?

⁕ ý a) Số cách chọn 2 HS nam trong 4 HS nam là: C42; 

Số cách chọn 1 HS nữ trong 5 HS nữ là C51.

Từ đó tính được: Số các kết quả thuận lợi của biến cố A là nA=C42 . C51

+ Tương tự với biến cố B.

+ Số kết quả thuận lợi cho biến cố H là:

nH=nA+nB

⁕ ý b) 

+ Để tính được xác suất của H phải tìm được không gian mẫu.

n=C93 => PH=nHn.

- GV chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm gồm 5 – 6 HS. Các nhóm thực hiện thảo luận, tìm phương pháp giải Luyện tập 7

+ Để tạo được một tam giác thì ta cần mấy điểm thuộc d1, mấy điểm thuộc d2? Từ đó đặt các biến cố cho các trường hợp.

+ Các nhóm vận dụng phương pháp giải đã tìm hiểu trong Ví dụ 9 trên để thực hiện.

+ Mỗi nhóm cử ra một đại diện lên bảng trình bày kết quả, các nhóm khác lắng nghe, quan sát và cho ý kiến nhận xét.

+ GV chữa bài và chốt đáp án.

NV2: Tìm hiểu cách tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

- GV triển khai HĐ7 cho HS thảo luận nhóm ba suy nghĩa và thực hiện yêu cầu.

+ Các nhóm trình bày ra giấy; GV gọi bất kì nhột số nhóm trình bày kết quả.

+ Các nhóm khác cho ý kiến nhận xét; GV chốt đáp án.

- HS đọc và tìm hiểu Ví dụ 10 

+ GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ theo hướng dẫn của SGK.

- GV cho HS thực hiện Luyện tập 8 theo Phiếu bài tập.

+ GV chia lớp thành các nhóm tương ứng với các tổ trong lớp.

+ Vận dụng phương pháp đã được hướng dẫn làm trong HĐ7 và Ví dụ 10 để thực hiện.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp và phương pháp sơ đồ hình cây.

IV. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản

1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp

Ví dụ 9: (SGK – tr.21)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.21+22)

Luyện tập 7

- Không gian mẫu n=C373=7770

- Xét các biến cố:

A: "Trong 3 điểm có 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2" => nA=C171.C202=3230

B: "Trong 3 có 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2". => nB=C172.C201=2720

H: "Ba điểm được chọn thuộc vào đường thẳng d1 hoặc d2";

Khi đó: H=A∪B và A∩B=∅.

=> PH=3230+27207770=85111

2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

HĐ7

Ví dụ 10: (SGK – tr.23)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23)

Luyện tập 8

Ta có: n=C85=8 568 

Xét biến cố A: "Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu vàng, 2 viên bi màu đỏ"

n(A) = C51. C62. C72 =1575

Xét biến cố B: "Trong 5 viên bi có 3 viên bi màu xanh, 1 viên bi màu vàng, 1 viên bi màu đỏ"

n(B) = C53. C61. C71 = 420

Vậy xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng là: 

1575+420 8568=95408