Soạn giáo án Toán 11 cánh diều Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thực hiện HĐ 1.

+ b) HS xác định hàm số fxn; vận dụng kết quả phép toán trên dãy số.

- Từ đó, GV giới thiệu ở HĐ 1: ta nói hàm số f(x)=2x có giới hạn là 2 khi x dần tới 1.

- HS khái quát hàm số fxn xác định trên K hoặc trên K\{xo} cần thỏa mãn điều kiện gì để có giới hạn L khi x dần tới xo?

- GV hướng dẫn HS nhận biết một số kết quả phần nhận xét.

- GV hướng dẫn HS các bước làm Ví dụ 1.

+ Giả sử dãy số xn có xn≠3,xn =3. Tính lim⁡f(xn).

- Qua đó chú ý: hàm số có thể không xác định tại x=xo nhưng vẫn tồn tại giới hạn tại xo.

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương tự các bước làm như Ví dụ 1.

- GV cho HS làm HĐ 2 theo nhóm đôi vào Phiếu bài tập.

- Từ kết quả của HĐ 2, HS khái quát trường hợp tổng quát.

+ Chú ý điều kiện của trong các trường hợp phân thức, căn thức.

- HS thực hiện Ví dụ 2:

Vận dụng định lí định lí vừa học và các giới hạn cơ bản.

- HS làm Luyện tập 2, giải thích cụ thể các kết quả của định lí đã sử dụng.

- HS thực hiện HĐ 3. GV gợi mở:

+ Hàm số fx cho bởi mấy công thức?

+ Khi x> 0 thì f(x) được xác định bởi công thức nào? Từ đó xác định fun.

Tương tự với fvn.

+Từ công thức và kết hợp đồ thị xác định giới hạn theo yêu cầu đề bài.

- Từ kết quả của HĐ 3. GV giới thiệu về giới hạn bên trái, giới hạn bên phải.

- HS khái quát để được định nghĩa giới hạn một phía.

- HS đọc Ví dụ 3. GV đặt câu hỏi:

+ Giải thích x→2- nghĩa là gì?

+ Câu hỏi thêm: Có tồn tại giới hạn của hàm số 2-x  khi x→2+hay không?

Không phải lúc nào cũng có giới hạn cả hai phía.

- HS làm Luyện tập 3.

- GV giới thiệu về định lí giới hạn hai phía và giới hạn trái, giới hạn phải của một hàm số.

- HS đọc Ví dụ 4.

+ Nêu cách chứng minh không tồn tại giới hạn tại xo.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

HĐ 1

a) Bảng giá trị

(bảng dưới)

Ta có: lim⁡f⁡xn=lim2(n+1)n=2.

b) 

Lấy dãy xn bất kí thỏa mãn xn→1 ta có:
fxn=2xn

⇒limfxn=lim2xn=2limxn=2.1=2.
Kết luận

Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y=fx xác định trên K hoặc K\{x0}. Ta nói hàm số fx có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số xn bất kì, xnK\{x0} và xnx0, thì fxnL.

Kí hiệu xx0 f(x)=L hay f(x)→L khi xx0. 

Nhận xét

xx0 xo=xo;xx0 c=c c là hằng số.

Ví dụ 1 (SGK -tr.67)

Chú ý: 

Hàm số fx có thể không xác định tại x=x0 nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới xo.

Luyện tập 1

Đặt f(x)=x2
Giả sử xn là dãy số thỏa mãn lim⁡xn=2.
lim⁡fxn=lim⁡xn2=22=4.
Vậy x2  =4.

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

HĐ 2:

a) Giả sử xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
lim⁡fxn=limxn2-1=limxn2-1=1-1=0.
f(x) =0.
lim⁡g⁡xn=limxn+1=lim⁡xn+1=2g(x) =2.

b) Ta có: f(x)+g(x)=x2-1+x+1=x2+x
Giả sử xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
limfxn+gxn=limxn2+xn=lim⁡xn2+lim⁡xn=12+1=2.
x→1 (f(x)+g(x))=2

+) Ta lại có: x→1   f(x)+x→1  g(x)=0+2=2.
Vậy x→1  (f(x)+g(x))=x→1  f(x)+x→1  g(x)=2.
c) Ta có: f(x)-g(x)=x2-1-x-1=x2-x-2
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
limfxn-gxn=limxn2-xn-2=limxn2-limxn-2=12-1-2=-2x→1  (f(x)-g(x))=-2

Ta lại có: x→1  f(x)-x→1  g(x)=0-2=-2.
Vậy x→1 (f(x)-g(x))=x→1  f(x)-x→1  g(x)=-2.
d) Ta có: f(x)⋅g(x)=x2-1(x+1)=x3+x2-x-1
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
limfxngxn=limxn3+xn2-xn-1=limxn3+limxn2-limxn-1=13+12-1-1=0

x→1 (f(x)⋅g(x))=0.
Ta lại có: x→1  f(x)⋅x→1 g(x)=0.2=0.
Vậy x→1  (f(x)⋅g(x))=x→1 f(x)⋅x→1  g(x).
e) Ta có: f(x)g(x)=x2-1x+1
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim xn=1. Khi đó ta có:
limfxngxn=limxn2-1xn+1=limxn-1xn+1xn+1=limxn-1=0x→1  f(x)g(x)=0

Ta lại có: limf(x)limg(x)=02=0
Vậy x→1  f(x)g(x)=x→1  f(x)x→1  g(x).
Kết luận

a) Nếu xx0 f(x)=L vàxx0 gx=M(L, M∈R). Khi đó

xx0 [f(x)+g(x)]=L+M;   xx0 [f(x)-g(x)]=L-M;   xx0 [f(x)⋅g(x)]=LM;   xx0 f(x)g(x)=LM, (nếu M≠0).

b) Nếu f(x)≥0 và xx0 f(x)=L

thì L≥0 và xx0 f(x)=L.

Ví dụ 2 (SGK tr.68)

Luyện tập 2

a) x2 (x+1)x2+2x=x2  (x+1)⋅x2  x2+2x=3.8=24.
b) x2  x2+x+3=x2 x2+x+3=3.

3. Giới hạn một phía

HĐ 3

a) Xét dãy số un sao cho un<0 và limun=0. Khi đó fun=-1 và lim⁡fun=-1
b) Xét dãy số vn sao cho vn>0 và limvn=0. Khi đó fvn=1 và lim⁡fvn=1.

Kết luận

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;x0. 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=fx khi xx0 nếu với dãy số xn bất kì thoả mãn a<xn<xo và xnx0, thì fxnL.

Kí hiệu xx0-f(x)=L.

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng x0;b. 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=fx  khi xx0 nếu với dãy số xn bất kì thoả mãn x0<xn<b và xnx0, thì fxnL, kí hiệu xx0+f(x)=L.

Ví dụ 3 (SGK -tr.69)

Luyện tập 3

x-4+(x+4+x)=x-4+ x+4+x-4+ x=0-4=-4.
Định lí

f(x) =L và f(x) =L khi và chỉ khi f(x) =L

Ví dụ 4 (SGK -tr.69)