HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu khái niệm tính đơn điệu của hàm số

- GV trình chiếu hình 1.2 cho HS quan sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong HĐ1.

Quan sát đồ thị của hàm số  (H.1.2)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

+ GV chỉ định 2 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời a) và b).

+ GV nhận xét và chính xác hóa câu trả lời.

- GV cho  HS quan sát đồ thị Hình 1.2, và đặt vấn đề:

• Nêu tập xác định của hàm số ?

• Lấy các điểm  sao cho và so sánh  và ?

• Có thể kết luận rằng: “Với mọi  =>  thì hàm số  đồng biến trên ” hay không?

+ GV cho HS thảo luận nhóm đôi để suy ra trường hợp hàm số nghịch biến trên .

+ GV nhận xét các câu trả lời của HS, chữa bài và giảng giải chi tiết cho HS nắm được tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Từ đó, GV trình chiếu khung kiến thức trọng tâm cho HS ghi bài.

- GV trình chiếu hình 1.3 và cho HS quan sát.

+ GV giải thích về các thuật ngữ: Đơn điệu, Xét tính đơn điệu của hàm số cho HS.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 1.

Cho đồ thị của hàm số  (H.1.4). Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?

+ GV chỉ định 2 HS trình bày lại cách thực hiện bài toán.

- GV cho HS thảo luận theo bàn, thực hiện Luyện tập 1.

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ GV có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi lên? Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi xuống?

+ GV chỉ định 1 – 2 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV trình chiếu Hình 1.6 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ2.

Xét hàm số  có đồ thị như hình 1.6

a) Xét dấu của đạo hàm trên khoảng . Nhận xét về mối quan hệ đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

b) Nhận xét về đạo hàm  và hàm số  trên khoảng ?

+ HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS, thực hiện các yêu cầu trong HĐ.

+ GV gợi ý:

• Trên khoảng , đạo hàm của  mang dấu gì? Hàm số đồng biến hay nghịch biến?

• Trên khoảng , đạo hàm của  mang dấu gì? Hàm số đồng biến hay nghịch biến?

• TRên khoảng , hạo hàm của  bằng bao nhiêu? Hàm số có thay đổi hay không?

- Từ các câu trả lời của HS, GV khái quát và trình bày Định lí theo SGK cho HS.

- GV lưu ý cho HS, định lí vừa học cũng đúng trong trường hợp  tại một số điểm trong khoảng .

- HS đọc – hiểu Ví dụ 2:

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số .

+ Sau đó GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ trình bày lại cách thực hiện.

- GV cho HS thảo luận nhóm 4 HS, quan sát và thực hiện yêu cầu của Luyện tập 2:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

+ Đạo hàm của hàm số  bằng bao nhiêu?

+ Dựa vào đạo hàm, tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải. HS dưới lớp nhận xét bài làm của 2 bạn.

NV2: Tìm hiểu sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số

- GV triển khai HĐ3 cho HS đọc và thảo luận nhóm đôi, thực hiện theo chỉ dẫn trong HĐ:

Cho hàm số

a) Tính đạo hàm  và tìm các điểm  mà .

b) Lập bảng biến thiên - bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ GV lần lượt chỉ định các HS lên bảng thực hiện các phần a), b) và c).

+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS.

 Từ đó, GV nêu các bước để xét tính đơn điệu của hàm số  theo hướng dẫn của SGK.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số .

+ Nêu tập xác định của hàm số?

+ 1 HS lên bảng tính đạo hàm của hàm số và tìm các giá trị của  làm cho .

+ 1 HS lên bảng thực hiện lập bảng biến thiên và kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Điều kiện xác định của phân thức  là . Suy ra tập xác định của hàm số là .

+ Tính đạo hàm  ta được:

+ Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và .

- GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo luận và thực hiện phần Luyện tập 3:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a)

b)

+ Nhóm 1 và 2, thực hiện câu a).

+ Nhóm 3 và 4, thực hiện câu b).

+ Các nhóm thực hiện trao đổi, thống nhất đáp án trong 6 - 8 phút.

+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại diện từng nhóm lên thực hiện bài giải của nhóm mình.

+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài làm vào vở cá nhân.

+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS và rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV cho HS đọc lại tình huống mở đầu và hướng dẫn cho HS thực hiện phần Vận dụng 1:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện theo các yêu cầu:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc  là đạo hàm  của . Tìm vận tốc .

b) Xét dấu của hàm , từ đó suy ra câu trả lời.

+ a) Thực hiện tính vận tốc  là đạo hàm của .

 Khi đó, .

+ b) Lập bảng biến thiên và xét dấu của hàm :

• Xét  khi  thuộc khoảng nào?

• Xét  khi  thuộc khoảng nào?

 Từ đó rút ra kết luận.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Tính đơn điệu của hàm số.

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

HĐ1

Hình 1.2

a) Hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Giải quyết vấn đề:

+ Tập xác định:

+ Với  ta có  và . Suy ra .

+ Tương tự, với mọi  =>  thì hàm số  đồng biến trên .

+ Ngược lại, với mọi  =>  thì hàm số  nghịch biến trên .

Ghi nhớ

Giả sử  là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và  là hàm số xác định trên .

+ Hàm số  được gọi là đồng biến trên  nếu  =>

+ Hàm số  được gọi là nghịch biến trên  nếu  => .

Chú ý

+ Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

+ Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên  gọi chung là đơn điệu trên . Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

+ Xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập  thì ta xét trên tập xác định của hàm số.

Ví dụ 1: SGK – tr.6

Hướng dẫn giải: SGK – tr.6.

Luyện tập 1

+ Hàm số đồng biến trên  và

+ Hàm số nghịch biến trên .

HĐ2.

Hình 1.6

a) Trên khoảng , đạo hàm mang dấu âm => Hàm số nghịch biến.

Trên khoảng , đạo hàm mang dấu dương => Hàm số đồng biến.

b) Trên khoảng , đạo hàm bằng 0 => Hàm số không đổi.

Định lí

Cho hàm số  có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu  với mọi  thì hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Nếu  với mọi  thì hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Chú ý

+ Định lí vẫn đúng trong trường hợp  tại một số hữu hạn điểm trong khoảng .

+ Nếu  với mọi  thì hàm số  không đổi trên khoảng .

Ví dụ 2: SGK – tr.7

Hướng dẫn giải: SGK – tr.7

Luyện tập 2

- Tập xác định: .

- Ta có: .

+  với ;  với .

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  và hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

HĐ3.

Hàm số

- Tập xác định: .

a)

 hay

Suy ra:  hoặc

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số đồng biến trên khoảng:  và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng: .

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số :

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dẫn và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3: SGK – tr.8

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Ví dụ 4: SGK – tr.8

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Luyện tập 3

a)

- Tập xác định: .

- Ta có:

 hay  suy ra  hoặc .

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và  Hàm số nghịch biến trên khoảng .

b)

- Tập xác định:

- Ta có: =

 hay  suy ra:  hoặc .

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và  Hàm số nghịch biến trên khoảng  và .

Vận dụng 1

a)

b) Xét dấu của

 khi và .

 khi .

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 giây – 6 giây chất điểm chuyển động sang trái;

Trong khoảng thời gian lớn hơn 6 giây thì chất điểm chuyển động sang phải.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của hàm số

- GV trình chiếu hình 1.7 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ4:

Quan sát đồ thị của hàm số  (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng vào vở.

Hình 1.7

+ GV mời 1 HS trả lời: Dấu đạo hàm của hàm số ?

+ Quan sát Hình 1.7 và hai bảng:

• Trong khoảng  và  hàm số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó suy ra dấu của .

• Trong khoảng  và  hàm số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó suy ra dấu của .

• Tại mỗi giá trị  và  thì giá trị của  bằng bao nhiêu?

+ GV mời 3 HS trả lời cho 3 ý câu hỏi vừa nêu. GV nhận xét, và nêu Định nghĩa tổng quát theo SGK cho HS.

- GV giới thiệu, giảng giải về các thuật ngữ: Giá trị cực đại, điểm cực đại, cực trị và các kí hiệu cho HS trong phần Chú ý SGK – tr.9

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 5:

Hình 1.8 là đồ thị của hàm số . Hãy tìm các cực trị của hàm số.

+ Quan sát Hình 1.8, và có thể thấy:

+ Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm có tọa độ:

•  và

•  và

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có tọa độ:

 và

- HS vận dụng kiến thức vừa học để thực hiện cá nhân Luyện tập 4:

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số . Hãy tìm các cực trị của hàm số đó.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải của Luyện tập.

+ HS dưới lớp làm bài và quan sát nhận xét bài làm của hai bạn.

+ GV chữa bài và chốt đáp án.

- NV2: Tìm hiểu cách tìm cực trị của hàm số

- GV triển khai HĐ5 và cho HS thảo luận với bạn cùng bàn để thực hiện HĐ:

Cho hàm số

a) Tính đạo hàm  và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm  bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng tính đạo hàm và tìm các giá trị để .

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng lập bảng biến thiên và tìm các điểm cực trị của hàm số.

+ GV quan sát, nhận xét chi tiết bài làm của HS.

 Từ kết quả của HĐ, GV trình bày Định lí trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV cho HS hoạt động cá nhân, thực hiện Câu hỏi trong SGK – tr.11:

Giải thích vì sao nếu  không đổi dấu khi  qua  thì  không phải là điểm cực trị của hàm số ?

+ GV mời một số HS trả lời câu hỏi.

+ Từ đó GV tổng hợp, khái quát để chính xác hóa câu trả lời.

- GV trình chiếu, giảng giải cách xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số dựa trên hai bảng biến thiên trong SGK.

 Từ đó hướng dẫn các bước để HS tìm cực trị của một hàm số  bất kì.

- HS đọc và thực hiện cá nhân Ví dụ 6 vào vở:

Tìm cực trị của hàm số .

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện lại lời giải của Ví dụ.

- GV đặt câu hỏi: Nếu trong trường hợp  nhưng  không đổi dấu khi  qua  thì  có là điểm cực trị của hàm số  không?

(Không)

Lấy ví dụ minh họa?

(Ví dụ: Hàm số ).

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 7:

Tìm cực trị của hàm số

+ GV mời 2 HS lên bảng lần lượt tìm tập xác định, đạo hàm và lập bảng biến thiên cho hàm số .

+ GV chỉ định 1 HS tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số trên bảng biến thiên.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 8:

Tìm cực trị của hàm số .

+ Tập xác định: .

+ Tính đạo hàm của hàm số, ta được:

  (với mọi ).

Do  với mọi , nên hàm số nghịch biến. Ta có bảng biến thiên sau:

Quan sát bảng biến thiên, thấy rằng hàm số không có điểm cực trị.

- GV chia lớp thành 4 nhóm để HS thảo luận và thực hiện Luyện tập 5:

Tìm cực trị của hàm số:

a)

b)

+ Nhóm 1, 2: Thực hiện câu a).

+ Nhóm 3, 4: Thực hiện câu b).

+ Các nhóm sau thời gian thảo luận cử đại diện của nhóm mình lên thực hiện bài giải.

+ GV quan sát, nhận xét và rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Vận dụng 2

+ Đạo hàm  biểu thị vận tốc của vật tại thời điểm .

+ Khi  nghĩa là vận tốc của vật bằng 0. Lúc này, vật đạt độ cao cực đại hoặc cực tiểu.

+ Lập bảng biến thiên ta xác định được thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất.

 Từ đó kết luận cho bài toán.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Cực trị của hàm số.

a) Khái niệm cực trị của hàm số

HĐ4

Hàm số

- Đạo hàm của hàm số mang dấu dương khi  và .

- Đạo hàm của hàm số mang dấu âm khi  và .

- Hoàn thành bảng:

Định nghĩa

Cho hàm số  xác định và liên tục trên khoảng  ( có thể là ,  có thể là ) và điểm .

+ Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi  và  thì ta nói hàm số  đạt cực đại tại .

+ Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi  và  thì ta nói hàm số  đạt cực tiểu tại .

Chú ý: (SGK – tr.9)

Ví dụ 5: SGK – tr.10

Hướng dẫn giải: SGK – tr.10

Luyện tập 4

+ Hàm số đạt cực đại tại  và .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

b) Cách tìm cực trị của hàm số

HĐ5

a)

 hay , suy ra:

 hoặc

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số đạt cực đại tại  và

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Định lí

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đạo hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi  và  với mọi  thì  là một điểm cực tiểu của hàm số .

b) Nếu  với mọi  và  với mọi  thì  là một điểm cực đại của hàm số .

Câu hỏi

Nếu  không đổi dấu khi  qua  thì hàm số  luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến, nên không có cực trị.

Vậy nếu  không đổi dấu khi  qua  thì  không phải là điểm cực trị của hàm số .

Chú ý: Các bước tìm cực trị của hàm số :

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm điểm mà tại đó  hoặc không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Ví dụ 6: SGK – tr.11

Hướng dẫn giải: SGK – tr.11

Chú ý

Nếu  nhưng  không đổi dấu khi  qua  thì  không là điểm cực trị của hàm số .

Ví dụ:

Hàm số  có  nhưng  không phải là cực trị của hàm số.

Ví dụ 7: SGK – tr.12

Hướng dẫn giải: SGk – tr.12

Ví dụ 8: SGK – tr.12

Hướng dẫn giải: SGK – tr.12

Luyện tập 5

a)

- Tập xác định:

- Ta có:

 hay  hay hoặc  hoặc .

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại  và

Hàm số đạt cực tiểu tại  và

Hàm số đạt cực tiểu tại  và

b)

- Tập xác định:

- Ta có: ;  suy ra:

 hoặc .

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại  và .

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Vận dụng 2

 hay  hay

Bảng biến thiên:

 Vậy tại thời điểm  giây thì vật đạt độ cao lớn nhất là 32,625 mét.

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

D

B

D

A

C

           0                      1                      2

           ||            +         0           -          ||