Bài giảng điện tử Toán 12 kết nối tri thức

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí  (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm  (giây) được cho bởi công thức:

Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

01 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

q  HĐ1: Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Quan sát đồ thị của hàm số  (H.1.2).

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Trả lời:

a) Hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Hàm số  nghịch biến trên khoảng

Quan sát đồ thị H1.2, và trả lời câu hỏi:

• Nêu tập xác định của hàm số ?

Lấy các điểm  sao cho  và so sánh  và ?

• Có thể kết luận rằng: “Với mọi   thì hàm số  đồng biến trên ” hay không?

Trả lời:

• Tập xác định:

• Với  ta có  và  

Suy ra .

Tương tự, với mọi   thì hàm số  đồng biến trên .

Ngược lại, với mọi    thì hàm số  nghịch biến trên .

Ghi nhớ

Giả sử  là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và  là hàm số xác định trên .

•      Hàm số  được gọi là đồng biến trên  nếu ,

•      Hàm số  được gọi là nghịch biến trên  nếu ,   .

•       CHÚ Ý

•      Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

•      Nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

•      Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên  còn được gọi chung là đơn điệu trên . Việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

•      Xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập  thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số.

Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị của hàm số Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải

Giải:

Tập xác định của hàm số là .

Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng

Luyện tập 1

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải Hàm số đồng biến trên  và

•      Hàm số nghịch biến trên .

q  HĐ2: Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Xét hàm số   có đồ thị như Hình 1.6.

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm  và hàm số  trên khoảng ?

ĐỊNH LÍ

Cho hàm số  có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu  với mọi  thì hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Nếu  với mọi  thì hàm số  nghịch biến trên khoảng .

CHÚ Ý

•      Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp  bằng  tại một số hữu hạn điểm trong khoảng .

•      Người ta chứng minh được rằng, nếu  với mọi  thì hàm số  không đổi trên khoảng .

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

Giải:

Tập xác định của hàm số là .

Ta có:  với

                                 với

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng

                         nghịch biến trên khoảng

Luyện tập 2

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

Giải:

 - Tập xác định:

 - Ta có:

 với ;  với .

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  và hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

q  HĐ3: Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

Cho hàm số

a) Tính đạo hàm và tìm các điểm  mà

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Trả lời:

Tập xác định:

a)

b) Bảng biến thiên: