Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 kết nối tri thức

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Quan

Quan sát đồ thị của hàm số  và trả lời câu hỏi:

1) Hàm số đồng biến trên khoảng nào? Nghịch biến trên khoảng nào?

2) Hãy chỉ ra các điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

Trả lời:

1) Tập xác định của hàm số là .

Hàm số đồng biến trên khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

2) Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại .

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Tính đơn điệu của hàm số

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử  là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và  là hàm số xác định trên .

•      Hàm số  được gọi là đồng biến trên  nếu  .

•      Hàm số  được gọi là nghịch biến trên  nếu  .

      Chú ý:

 - Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

 - Nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Quan sát đồ thị hàm số  và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Giải:

 - Hàm số đã cho có tập xác định là

Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên các khoảng  và

Định lí

Cho hàm số  có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu  với mọi  thì hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Nếu  với mọi  thì hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Chú ý

Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp  bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng .

Ví dụ: Tìm các khảng đồng biến, nghịch biến của hàm số                  

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:  

b) Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

2. Cực trị của hàm số

a) Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số  liên tục và xác định trên khoảng  ( có thể       là  có thể là ) và điểm .

•      Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi   và  thì ta nói hàm số  đạt cực đại tại .

•      Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi   và  thì ta nói hàm số  đạt cực tiểu tại .

Chú ý

•      Nếu hàm số  đạt cực đại tại  thì  được gọi là điểm cực đại của hàm số . Khi đó,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số  và kí hiệu là  hay . Điểm  được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

•      Nếu hàm số  đạt cực tiểu tại  thì  được gọi là điểm cực tiểu của hàm số . Khi đó,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  và kí hiệu là  hay . Điểm  được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

•       Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ:

Dựa vào đồ thị hàm số  hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

Giải

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Hàm số đạt cực đại tại  và .

b) Cách tìm cực trị của hàm số

Định lí:

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đoạ hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm   thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

b)  Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách tìm cực trị của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.

Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số

Giải:

 - Hàm số  có tập xác định là

 - Ta có:

 - Từ bảng biến thiên, ta có:

 - Hàm số đạt cực đại tại

 -  và

 -

 -