Bài giảng điện tử chuyên đề Toán 11 kết nối tri thức

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN! 

KHỞI ĐỘNG 

Nhìn những tấm bản đồ hành chính Việt Nam ở dưới, ta thấy chúng giống nhau về hình dạng, hơn nữa, tấm a) và tấm d) còn giống nhau về cả kích thước.     Toán học thể hiện điều đó như thế nào? 

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 

BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH 

NỘI DUNG BÀI HỌC 

Phép biến hình 

Ảnh của một hình qua một phép biến hình 

01 PHÉP BIẾN HÌNH 

HĐ 1: Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc. 

Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc? 

Giải: 

Với mỗi điểm M trong mặt phẳng thì có duy nhất một điểm M' đối xứng với M qua điểm O cho trước.  

⇒ Nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M, Hoa đặt đồng xu ở ví trí M' đối xứng với M qua O (vị trí chính giữa tờ giấy mà Hoa đặt trước), thì mỗi lần Hưng đặt đồng xu tiếp sau, Hoa đều xác định được duy nhất một vị trí để đặt đồng xu của mình tương ứng. Cứ như vậy, Hoa sẽ đặt được đồng xu lên vị trí cuối cùng còn trống của mảnh giấy, do đó Hưng sẽ là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu.  

Vậy Hưng là người thua cuộc và Hoa là người thắng cuộc. 

Kết luận 

Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để ứng với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất điểm M′ thuộc mặt phẳng đó. 

Điểm M′ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. 

Chú ý 

• Nếu kí hiệu một phép biến hình là f và M′ là ảnh của điểm M qua f, thì ta nói f biến điểm M thành điểm M′. Ảnh M′ của M qua f được kí hiệu là f(M)=M′. 
• Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính M được gọi là phép đồng nhất. 

Ví dụ 1:  Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d. 

1. a) Với mỗi điểm M, gọi M′ là hình chiếu vuông góc của M lên d. Chứng minh rằng quy tắc cho tương ứng điểm M với điểm M′ là một phép biến hình.
2. b) Gọi a là một đường thẳng bất kì vuông góc với d. Chứng minh rằng tất cả các điểm thuộc a có cùng ảnh qua phép biến hình trên.

Giải: 

1. a) Mỗi điểm M đều có duy nhất hình chiếu vuông góc M′ trên d (H.1.1).

Do đó, quy tắc cho tương ứng điểm M với điểm M′ như trên là một phép biến hình. 

1. b) Gọi O là giao điểm của a và d. Khi đó, tất cả các điểm trên a đều có hình chiếu vuông góc trên d là O. Do đó, các điểm này có cùng ảnh là O qua phép biến hình nói trên.

02 ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH 

HĐ2 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(x+1; y+2). 

1. a) Xét các điểm A(–1; 5), B(2; 2), C(4; 0) thuộc ∆: x+y −4 =0. Xác định các ảnh của chúng qua f.
2. b) Chứng minh rằng nếu M(x_o; y_o) là điểm thuộc đường thẳng ∆: x+y −4 =0 thì ảnh M′(x_o+1; y_o+2) của nó thuộc đường thẳng ∆′: x+y –7=0. 

Giải: 

1. a) Ảnh của điểm A(−1;5) qua phép biến hình f là điểm A^′(−1+1;5+2) hay A^′(0;7).

Ảnh của điểm B(2;2) qua phép biến hình f là điểm B^′(2+1;2+2) hay B^′(3;4) 

Ảnh của điểm C(4;0) qua phép biến hình f là điểm C^′(4+1;0+2) hay C^′(5;2) 

1. b) Vì M(x_0;y_0) thuộc ∆:x+y−4=0

nên x_0+y_0=4 

Thay tọa độ M^′(x_0+1;y_0+2) vào phương trình đường thẳng ∆^′:x+y−7=0; ta có: 

⟺(x_0+1)+(y_0+2)−7=0 

⟺x_0+y_0=4 (đúng) 

Suy ra M^′(x_0+1;y_0+2) thuộc đường thẳng ∆^′:x+y−7=0. 

Kết luận 

Với mỗi hình H, ta gọi hình H′ gồm các điểm M^′=f(M), trong đó M∈H, là ảnh của hình H qua phép biến hình f, và viết H′=f(H). Khi đó, ta cũng nói f biến hình H thành hình H′. 

Ví dụ 2:  Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, với mỗi số dương k khác 1 cho trước, xét phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(x;ky). 

1. a) Điểm N′(u_o; v_o) là ảnh của điểm nào qua f?
2. b) Chứng minh rằng, phép biến hình f biến đường tròn (C): x^2+y^2=R^2

thành elip (E): x^2/R^2+y^2/(kR)^2=1. 

Giải: 

1. a) Điểm N^′(u_o; v_o) là ảnh của điểm N(u_o;v_o/k).
2. b) Lấy điểm M(x_o; y_o) thuộc đường tròn (C), khi đó x_o^2+y_o^2=R^2 và M có ảnh là M′(x_o;ky_o)

Ta có 

x_o^2/R^2+y_o^2/R^2=1,hay x_o^2/R^2+(ky_o)^2/(kR)^2=1 

Như vậy, M^′(x_o;ky_o) thoả mãn phương trình elip(E): x^2/R^2+y^2/(kR)^2=1. 

Vậy, nếu điểm M thuộc đường tròn (C) thì ảnh M′ của nó thuộc elip (E). 

Ta lại có, nếu u_o^2/R^2+v_o^2/(kR)^2=1 thì u_o^2+(v_o/k)^2=R^2 

Do đó, mỗi điểm N^′(u_o; v_o) thuộc elip (E) đều là ảnh của điểm N(u_o;v_o/k) 

thuộc đường tròn (C). 

Vậy f biến đường tròn (C) thành elip (E). 

Chú ý 

• Phép biến hình f trong Ví dụ 2 được gọi là phép co về trục hay dãn xa trục Ox nếu k tương ứng là nhỏ hơn hay lớn hơn 1. 
• Các phép co, dãn biến đường tròn thành elip và biến elip thành elip hoặc đường tròn. Nhiều phần mềm vẽ hình và xử lí hình ảnh có sử dụng phép co dãn. 

Chẳng hạn, trên một số phần mềm, để vẽ đường tròn, ta lại bắt đầu với một elip và sau đó điều chỉnh để hình chữ nhật cơ sở trở thành hình vuông (giữ nguyên một chiều của hình chữ nhật, chỉ điều chỉnh chiều còn lại). 

Vận dụng 

Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục. 

Giải: 

Quan sát Hình 1.4, ta thấy hình phía bên phải hình ở giữa giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục. 

LUYỆN TẬP 

Bài 1.1 (SGK – tr.8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 2). Xét phép biến hình f biến điểm I thành điểm I và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M′ sao cho I là trung điểm của MM′. Tìm tọa độ ảnh của điểm A(3;−2) qua phép biến hình f. 

Giải: 

Phép biến hình f biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M′ sao cho I là trung điểm của MM′. 

Vì A(3; −2)≠I(1;2) nên phép biến hình f biến điểm A thành điểm A′ sao cho I là trung điểm của AA′. 

Do đó : {█(x_A^′=2x_I−x_A=2.1−3=−1   @y_A^′=2y_I−y_A=2.2−(−2)=6)┤ 

Vậy ảnh của điểm A qua phép biến hình f là điểm A^′(−1;6). 

VẬN DỤNG 

 ...