Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 9 CD Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung giáo án

CHÀO CẢ LỚP! CHÀO MỪNG CÁC EM TỚI BUỔI HỌC NÀY

KHỞI ĐỘNG

Thực hiện bài toán sau:

Cho đường tròn và điểm nằm ngoài vẽ tiếp tuyến với đường tròn là tiếp điểm). Biết rằng và AB = 8. Tính cạnh BC?

Gọi

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

* và là phân giác

=> cân tại và là đường cao và

là đường trung tuyến

=> tại và

* Ta có:

Xét vuông tại , có: hay

=> =>

BÀI 3.

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

Trình bày khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn? Cho ví dụ minh họa?

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Ví dụ:

Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn => tại .

Định lí:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Thực hiện ví dụ sau: Cho tam giác có . Vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .

Xét có:

Hay

=> vuông tại (định lí Pythagore đảo)

=>

Mà là bán kính đường tròn nên là tiếp tuyến của

Trình bày tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau?

Định lí:

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

+ Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Thực hiện ví dụ sau: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

a, Chứng minh rằng OA ⊥ MN

b, Vẽ đường kính NC. Chứng minh rằng MC // AO.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: và

=> cân tại có là phân giác cũng là đường cao => (1)

b) Xét có là đường kính của nên vuông tại => (2)

Từ (1)(2) => //

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải:

• Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
• Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Gọi M là trung điểm của AO. Vẽ đường tròn (M, MO), nó cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải

Xét tam giác ABO có MA = MB = MO =

Suy ra tam giác ABO vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

=> AB ⊥ OB.

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chứng minh tương tự, ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 2: Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

1. Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

2. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, biết OB = R

Giải

1. Ta có

cân tại có OM là đường cao

• OM là trung tuyến
• MB = MC

2. Xét tam giác OBA có:

OB = OA = R; OB = AB (vì tứ giác OCAB là hình thoi),

suy ra OA = OB = AB. Do đó tam giác OAB là tam giác đều.

Do BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên BE ⊥ OB,

suy ra OBE vuông tại B.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có

Bài 3: Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao BM, CN cắt nhau tại H.

1. Chứng minh rằng A, M, H, N cùng nằm trên một đường tròn tâm O.

2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải

1. Lấy O là trung điểm của AH.

Áp dụng định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong giác AMH vuông tại M và tam giác ANH vuông tại N, ta có

và

Do đó, .

Vậy bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn tâm

2. Gọi K là giao điểm của AH và BC, ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên AK ⊥ BC.

HBK vuông tại K =>

Mà (đối đỉnh) => (1)

vuông tại =>

=> cân tại

=> (2)

2.

Theo chứng minh trên ta có: nên cân tại

=> (3)

Từ (1)(2)(3) ta có:

=>

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD ⊥ xy và BC ⊥ xy.

a) Chứng minh MC = MD.

b) Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm M trên nửa đường tròn.

c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.

d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất

Giải

1. Ta có: // BC // OM (cùng vuông góc với )

=> tứ giác ABCD là hình thang.

Lại có O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của CD

Vậy MC = MD

2. Hình thang ABCD có M, O lần lượt là trung điểm của CD, AB nên MO là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó (không đổi)

3. Ta có cân tại nên

Lại có // => =>

Kẻ

Ta có: (cạnh huyền – góc nhọn)

=> MD = ME. Do đó E thuộc đường tròn đường kính CD

Vậy đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.

--------------- Còn tiếp ---------------