Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn $|z-3|=2|z|$ và $\max |z-1+2i|=a+ b\sqrt{2}$. Tính a+b.

A. 4.

B. $4 \sqrt{2}$.

C. 3.

D. $\frac{4}{3}$.

Giải: Đáp án A

Đặt $w=z-1+2i$. Khi đó điều kiện $|z-3|=2|z|$ trở thành $|w-2-2i|=2|w+1-2i|$

Đặt $w=x+yi$ ta có

$|w-2-2i|=2|w+1-2i| \Leftrightarrow |x-2+i(y-2)|=2|a+1+i(b-2)|$

$\Leftrightarrow  (a-2)^{2}+(b-2)^{2}=4(a+1)^{2}+4(b-2)^{2}$

$\Leftrightarrow  (b-2)^{2}+(a-2)^{2}=3$.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w sẽ là đường tròn có tâm I(-2,2) bán kính 2.

Như vậy hai điểm cực đại và cực tiểu là hai giao điểm của phương trình đường thẳng OI (O là gốc tọa độ với đường tròn trên (hình vẽ). $A(2 \sqrt{2}-2, 2 \sqrt{2}-2)$, $B(2\sqrt{2}+2, 2 \sqrt{2}+2)$.

Như vậy $a+b\sqrt{2}=2+2 \sqrt{2} \Leftrightarrow a=b=2$.

 Câu 31: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA=27m. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiệm nước trong bể không đạt yêu cầu nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước trong bể để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát ba lần qua một lỗ đỉnh S. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ 3 thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài MN.

A. $27 (\sqrt[3]{2}-1)$.

B. $9 \sqrt[3]{9}(\sqrt[3]{4}-1)$.

C. $9 \sqrt[3]{9}(\sqrt[3]{2}-1)$.

D. $9 \sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{2}-1)$.

Giải: Đáp án C

Đặt $V_{1}, V_{2}$ là lượng nước còn lại sau lần thoát nước thứ nhất và thứ hai, V là thể tích nước ban đầu. Ta có

Lần thoát nước thứ nhất: $V_{1}=\frac{2}{3}V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V}=\frac{2}{3} \Rightarrow (\frac{SM}{SA})^{3}=\frac{2}{3} \Rightarrow SM=27 \sqrt[3] {\frac{2}{3}}=9 \sqrt[3]{18}.$

Lần thoát nước thứ hai: $V_{2}=\frac{V}{3} \Rightarrow (\frac{SN}{SA})^{3}=\frac{1}{3} \Rightarrow SN=9 \sqrt[3]{9}$.

Suy ra $MN=SM-SN= 9 \sqrt[3]{9}(\sqrt[3]{2}-1)$.

Câu 33: Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây dựng một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh bên SA=600m, $\widehat{ASB}=15^{0}$. Do sự cố đường dây điện tải tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM, MN, NP, PQ. Để tiết kiệm chi phí, kĩ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỷ số $k=\frac{AM+MN}{NP+PQ}$.

A. $k=\frac{3}{2}$.

B. $k=\frac{4}{3}$.

C. $k=\frac{5}{3}$

D. $k=2$.

Giải: Đáp án D.

Xét trên mặt phẳng SAB. Lấy các điểm M', P' lần lượt là các điểm đối xứng của M, P qua các đường cao SO. Dễ chứng minh được NM=NM', M'P'=MP.

Gọi J,I là điểm đối xứng của A, M' qua SB như vậy  M'N=NI, M'P'=P'I. Ta có 

$AN+NM'+M'P'+P'Q \geq QI+AI$.

Lấy H là điểm đối xứng của A qua SJ như vậy $QI+AI=QI+IH \geq QH$.

Như vậy để tổng AN+NM'+M'P'+P'Q nhỏ nhất bằng QH thì $QP'+P'M'=QI, M'N+AN=AQ=IH$.

Khi đó $k=\frac{AN+NM}{QP+PM}={AN+NM'}{QP'+P'M'}=\frac{IH}{IQ}$

Mặt khác Q là trung điểm của SA nên dễ dàng chứng minh được $\frac{IH}{IQ}=\frac{SA}{SQ}=2$.